Para f(x, y)=x^2-y e alpha(t)=(e^t^2+1, cos t), calcule
(f0 alpha)^prime(t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da composição de uma função de duas variáveis com uma parametrização. O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Vamos precisar das derivadas parciais de f e das derivadas das componentes de alpha.

Passo 2

Temos as definições:
f(x,y)=x^2 - y,
alpha(t)=(e^t^2+1,cos t)

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y)=2x
partial fpartial y(x,y)=-1

Passo 4

Calcule a derivada de alpha(t):
alpha'(t)=l(,2t,e^t^2+1,,-sin tr)

Passo 5

Aplique a regra da cadeia:
(fcircalpha)'(t)=partial fpartial xl(x(t),y(t)r),x'(t)+partial fpartial yl(x(t),y(t)r),y'(t)
Substituindo x(t)=e^t^2+1 e y(t)=cos t:
(fcircalpha)'(t)=2e^t^2+1cdot(2t e^t^2+1)+(-1)cdot(-sin t)

Passo 6

Agora simplificamos cada termo:
O primeiro termo é 4t e^2t^2+2 e o segundo é sin t. Somando, obtemos a expressão final.

Resposta

4t e^2t^2+2 + sin t

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