Se f(x, y)=y^2 x^y+(ln x)^7(arctg(arctg(arctg(sen(cos (xy)-ln (x+y)))))), x>0. Determine partial fpartial y(1, b), b in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada parcial de uma função em relação a , ou seja, , no ponto . A função que temos é bem complicada, mas vamos por partes. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais e regras de derivação como a cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o que é f(x, y) = y^2 x^y + (ln x)^7 cdot arctg(arctg(arctg(sen(cos(xy) - ln(x+y))))) :
Queremos derivar isso em relação a .

Passo 3

Vamos dividir a função em duas partes para facilitar:
f(x, y) = A + B
onde
A = y^2 x^y
e
B = (ln x)^7 cdot arctg(arctg(arctg(sen(cos(xy) - ln(x+y)))))
Vamos derivar e separadamente em relação a .

Passo 4

Primeiro, derivando A = y^2 x^y :
partial Apartial y = y^2 x^y (2 x^y ln y + 2 y x^y ln x )
Para derivar isso, usamos a regra da derivada de uma função exponencial com base variável:
ln 1 = 0 e 1^y = 1
Agora, vamos avaliar em partial Apartial yg|x=1 = y^2 cdot 1^y (2 cdot 1^y ln y + 2 y cdot 1^y cdot 0) = y^2 cdot 2 ln y :
Então,

Passo 5

Agora, derivando B = (ln x)^7 cdot arctg(arctg(arctg(sen(cos(xy) - ln(x+y))))) :
ln 1 = 0 então (ln 1)^7 = 0
Note que em :
ã
Portanto, em , e sua derivada também será 0.

Passo 6

Juntando as duas partes:
partial fpartial yg|(1, b) = partial Apartial yg|x=1 + partial Bpartial yg|x=1 = 2 b^2 ln b + 0 = 2 b^2 ln b

Resposta

partial fpartial y(1, b) = 2 b^2 ln b

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