Ache os possíveis valores de máximo e mínimo da função
sujeito a
Passo 1
O enunciado pede para achar extremos de f(x,y)=xy sob a restrição elíptica x²+4y²=8. Esse é um problema de otimização com restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange para resolver.
Passo 2
A ideia de Lagrange é montar a função
e igualar os gradientes:
Passo 3
As condições de estacionaridade são
além da própria restrição
A partir de y=2λx e x=8λy obtemos x²=4y².
Passo 4
Com x²=4y² temos x=±2y. Substituindo na restrição:
logo x=±2. Os pontos críticos são (2,1),(-2,-1),(2,-1),(-2,1).
Passo 5
Avaliando f(x,y)=xy em cada um: em (2,1) e (-2,-1) obtêm-se f=2; em (2,-1) e (-2,1) obtêm-se f=-2. Portanto o valor máximo é 2 e o mínimo é -2.
Resposta
O valor máximo de f sob a restrição é 2 e o valor mínimo é -2.