Ache os possíveis valores de máximo e mínimo da função f(x, y)=x y sujeito a x^2+4 y^2=8

Passo 1

O enunciado pede para achar extremos de f(x,y)=xy sob a restrição elíptica x²+4y²=8. Esse é um problema de otimização com restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange para resolver.

Passo 2

A ideia de Lagrange é montar a função
L(x,y,lambda)=xy-lambdal(x^2+4y^2-8r)
e igualar os gradientes:

Passo 3

As condições de estacionaridade são
partialLpartial x=y-2lambda x=0, partialLpartial y=x-8lambda y=0,
além da própria restrição
x^2+4y^2=8
A partir de y=2λx e x=8λy obtemos x²=4y².

Passo 4

Com x²=4y² temos x=±2y. Substituindo na restrição:
(±2y)^2+4y^2=4y^2+4y^2=8y^2=8implies y^2=1implies y=±1,
logo x=±2. Os pontos críticos são (2,1),(-2,-1),(2,-1),(-2,1).

Passo 5

Avaliando f(x,y)=xy em cada um: em (2,1) e (-2,-1) obtêm-se f=2; em (2,-1) e (-2,1) obtêm-se f=-2. Portanto o valor máximo é 2 e o mínimo é -2.

Resposta

O valor máximo de f sob a restrição é 2 e o valor mínimo é -2.

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