Mostre que
Passo 1
Nesse exercício a gente quer mostrar que
O conteúdo aqui é o cálculo de integrais de potências de seno. Vamos usar integração por partes para obter uma relação de recorrência e depois o caso base.
Passo 2
Definimos
Para achar uma fórmula que relacione
com
, aplicamos integração por partes escolhendo
.
Assim
Assim
Passo 3
No trecho acima o termo de fronteira é zero porque em 0 e
ou
ou
. Então sobra
Agora usamos
para dividir em duas partes:
Isolando
vem
e portanto
Passo 4
O caso base é
Passo 5
Agora é só iterar a recorrência:
Como multiplicar por 1 não muda nada, podemos escrever o numerador começando em 3, e chegamos à fórmula pedida.