Mostre que
integral0^pi2 sen^2 n(x) d x=3 cdot 5 cdot 7 cdots cdot(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot cdots cdot(2 n) cdot pi2

Passo 1

Nesse exercício a gente quer mostrar que
integral0^pi2sin^2n(x),dx=3cdot5cdot7cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n)cdotpi2
O conteúdo aqui é o cálculo de integrais de potências de seno. Vamos usar integração por partes para obter uma relação de recorrência e depois o caso base.

Passo 2

Definimos
In=integral0^pi2sin^2n(x),dx
Para achar uma fórmula que relacione In com In-1, aplicamos integração por partes escolhendo
In&=integral0^pi2sin^2n-1xcdotsin x,dx =l[-sin^2n-1xcos xr]0^pi2+(2n-1)integral0^pi2sin^2n-2xcos^2x,dx
.
Assim

Passo 3

No trecho acima o termo de fronteira é zero porque em 0 e pi/2 ou sin^2n-1x=0 ou cos x=0. Então sobra
In=(2n-1)integral0^pi2sin^2n-2xcos^2x,dx
Agora usamos cos^2x=1-sin^2x para dividir em duas partes:
In=(2n-1)l(In-1-Inr)
Isolando In vem
2n,In=(2n-1),In-1
e portanto
In=2n-12n,In-1

Passo 4

O caso base é
I0=integral0^pi2sin^0x,dx=integral0^pi21,dx=pi2

Passo 5

Agora é só iterar a recorrência:
In=2n-12nIn-1 =2n-12ncdot2n-32n-2cdots12,I0 =1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n)cdotpi2
Como multiplicar por 1 não muda nada, podemos escrever o numerador começando em 3, e chegamos à fórmula pedida.

Resposta

integral0^pi2sin^2n(x),dx=3cdot5cdot7cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n)cdotpi2

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