f(x, y)=x^2 e^y, P(3,0), u=15(3 i-4 j)
Determine o gradiente de f.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o gradiente da função f(x,y)=x²eʸ, no ponto P(3,0). O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e uso da definição de gradiente nabla f=(partial f/partial x,partial f/partial y).

Passo 2

Para achar partial f/partial x, tratamos y como constante. Como f(x,y)=x²e^y², a derivada de ² em relação a x é 2x e o e^y fica como fator: partial fpartial x=2x,e^y

Passo 3

Para achar partial f/partial y, tratamos x como constante. A derivada de e^y em relação a y é e^y e o ² fica como fator: partial fpartial y=x^2,e^y

Passo 4

Agora montamos o vetor gradiente e avaliamos em P(3,0): nabla f(x,y)=l(2x,e^y,;x^2,e^yr)Longrightarrownabla f(3,0)=l(2cdot3,e^0,;3^2,e^0r)=(6,9)

Resposta

O gradiente genérico é nabla f(x,y)=(2x,e^y,;x^2,e^y) e, no ponto P(3,0), vale nabla f(3,0)=(6,9).

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