Seja S a esfera x^2+y^2+z^2=1. O valor da integral integral duplaS(3 x^2+3 z^2) d S é:
Escolha uma opção:
8 pi
6 pi
12 pi
2 pi
4 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície da função $ 3x^{2} + 3z^{2} $ sobre a esfera $ S $ definida por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em superfícies, especificamente integrais de superfície em esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular uma integral de superfície. Basicamente, estamos somando os valores da função $ 3x^{2} + 3z^{2} $ em todos os pontos da esfera $ S $. Para facilitar, vamos aproveitar a simetria da esfera.

Passo 3

A esfera $ S $ é simétrica em relação aos eixos $ x, y $ e $ z $. Isso significa que as integrais de $ x^{2} $, $ y^{2} $ e $ z^{2} $ sobre a esfera são todas iguais. Vamos chamar essa integral de $ I $:
S

Passo 4

Sabemos que em uma esfera de raio $ r $, a integral de $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $ sobre a superfície é igual a $ r^{2} $ vezes a área da esfera. No nosso caso, o raio $ r = 1 $, então:
r

Passo 5

Mas sabemos que $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $ na esfera $ S $. Então:
x^2 + y^2 + z^2 = 1 Á

Passo 6

Como as integrais de $ x^{2} $, $ y^{2} $ e $ z^{2} $ são iguais:
x^2

Passo 7

Agora, voltando à nossa integral original:
integral duplaS (3x^2 + 3z^2) , dS = 3 integral duplaS x^2 , dS + 3 integral duplaS z^2 , dS = 3I + 3I = 6I
Substituindo o valor de $ I $:
I

Resposta

O valor da integral é $ 8\pi $.

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