Seja
a esfera
. O valor da integral
é:
Escolha uma opção:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície da função $ 3x^{2} + 3z^{2} $ sobre a esfera $ S $ definida por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em superfícies, especificamente integrais de superfície em esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular uma integral de superfície. Basicamente, estamos somando os valores da função $ 3x^{2} + 3z^{2} $ em todos os pontos da esfera $ S $. Para facilitar, vamos aproveitar a simetria da esfera.
Passo 3
A esfera $ S $ é simétrica em relação aos eixos $ x, y $ e $ z $. Isso significa que as integrais de $ x^{2} $, $ y^{2} $ e $ z^{2} $ sobre a esfera são todas iguais. Vamos chamar essa integral de $ I $:
Passo 4
Sabemos que em uma esfera de raio $ r $, a integral de $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $ sobre a superfície é igual a $ r^{2} $ vezes a área da esfera. No nosso caso, o raio $ r = 1 $, então:
Passo 5
Mas sabemos que $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $ na esfera $ S $. Então:
Passo 6
Como as integrais de $ x^{2} $, $ y^{2} $ e $ z^{2} $ são iguais:
Passo 7
Agora, voltando à nossa integral original:
Substituindo o valor de $ I $:
Resposta
O valor da integral é $ 8\pi $.