Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
f(x, y)= e^(1x^2+y^2-1) & se x^2+y^2<1 0 & se x^2+y^2 >= 1

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
f(x,y)=e^l(1/(x^2+y^2-1)r),&x^2+y^2<1,0,&x^2+y^2>=1
é diferenciável. O conteúdo é análise de diferenciabilidade por partes e verificação no contorno onde muda a definição.

Passo 2

Para x^2+y^2<1, temos x^2+y^2-1<0, mas a composição de funções suaves g(u)=e^1/u em u=x^2+y^2-1 é suave sempre que uneq0. Logo, em todo interior do disco aberto x^2+y^2<1, f é infinitamente diferenciável.

Passo 3

Para x^2+y^2>1, fequiv0 é uma função constante, portanto também C^infty nessa região.

Passo 4

No contorno x^2+y^2=1, precisamos mostrar que as derivadas laterais coincidem com as de fequiv0. Seja (x0,y0) tal que x0^2+y0^2=1. Para um pequeno deslocamento (h,k) que leve dentro do disco, escrevemos
f(x0+h,y0+k)=e^1/( (x0+h)^2+(y0+k)^2-1 )
Note que (x0+h)^2+(y0+k)^2-1approx2(x0h+y0k)+O(|(h,k)|^2), e assim
f(x0+h,y0+k)=e^-1/[2(x0h+y0k)+O(|(h,k)|^2)]
Esse expoente vai a -infty muito mais rápido que qualquer potência de |(h,k)|, garantindo que
f(x0+h,y0+k)-0raizh^2+k^2to0
quando (h,k)to(0,0). O mesmo raciocínio vale para as derivadas parciais, todas tendem a zero, casando com as de fequiv0. Portanto, f é diferenciável no contorno.

Passo 5

Juntando tudo, f é diferenciável em qualquer ponto de R^2.

Resposta

A função é diferenciável em todo R^2.

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