Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para determinar onde a função
é diferenciável. O conteúdo é análise de diferenciabilidade por partes e verificação no contorno onde muda a definição.
Passo 2
Para
, temos
, mas a composição de funções suaves
em
é suave sempre que
. Logo, em todo interior do disco aberto
,
é infinitamente diferenciável.
Passo 3
Para
,
é uma função constante, portanto também
nessa região.
Passo 4
No contorno
, precisamos mostrar que as derivadas laterais coincidem com as de
. Seja
tal que
. Para um pequeno deslocamento
que leve dentro do disco, escrevemos
Note que
, e assim
Esse expoente vai a
muito mais rápido que qualquer potência de
, garantindo que
quando
. O mesmo raciocínio vale para as derivadas parciais, todas tendem a zero, casando com as de
. Portanto,
é diferenciável no contorno.
Passo 5
Juntando tudo,
é diferenciável em qualquer ponto de
.
Resposta
A função é diferenciável em todo
.