f(x, y)=x-yx+y
Mostre que lim x 0(lim y 0 f(x, y))=1 e lim y 0(lim x 0 f(x, y))=-1. Conclua que não existe lim (x, y) (0,0) f(x, y).

Passo 1

Temos a função definida por:
f(x,y)=x-yx+y
Queremos mostrar que os limites iterados em ordens diferentes são distintos e, com isso, concluir que o limite duplo em (0,0) não existe. O conteúdo aqui é limites de funções de duas variáveis e limites iterados.

Passo 2

Primeiro cálculo: limite interno com respeito a y. Para um x fixo (diferente de –x para evitar divisão por zero), temos
limyto0f(x,y)=limyto0x-yx+y=x-0x+0=1
Isso usa a propriedade de que, se o numerador e o denominador tendem a valores finitos e o denominador não é zero, podemos simplesmente substituir.

Passo 3

Agora calculamos na ordem inversa: limite interno com respeito a x. Para um y fixo (diferente de –y),
limxto0f(x,y)=limxto0x-yx+y=0-y0+y=-1
Em seguida, o limite externo é trivial pois o valor já não depende mais de y.

Passo 4

Conclusão: os limites iterados são diferentes (um dá 1 e o outro dá –1). Como para existir o limite de uma função de duas variáveis em um ponto todos os caminhos (ou ordens de limite) devem dar o mesmo resultado, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe.

Resposta

Não existe lim(x,y)to(0,0)f(x,y), pois os limites iterados são distintos (1 e –1).

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