Mostre que
e
. Conclua que não existe
.
Passo 1
Temos a função definida por:
Queremos mostrar que os limites iterados em ordens diferentes são distintos e, com isso, concluir que o limite duplo em (0,0) não existe. O conteúdo aqui é limites de funções de duas variáveis e limites iterados.
Passo 2
Primeiro cálculo: limite interno com respeito a y. Para um x fixo (diferente de –x para evitar divisão por zero), temos
Isso usa a propriedade de que, se o numerador e o denominador tendem a valores finitos e o denominador não é zero, podemos simplesmente substituir.
Passo 3
Agora calculamos na ordem inversa: limite interno com respeito a x. Para um y fixo (diferente de –y),
Em seguida, o limite externo é trivial pois o valor já não depende mais de y.
Passo 4
Conclusão: os limites iterados são diferentes (um dá 1 e o outro dá –1). Como para existir o limite de uma função de duas variáveis em um ponto todos os caminhos (ou ordens de limite) devem dar o mesmo resultado, concluímos que
não existe.
Resposta
Não existe
, pois os limites iterados são distintos (1 e –1).