Sabendo que f: R R é derivável e que f(0)=1, f(1)=1, f(2)=-1, podemos afirmar que:
Não existe x entre 1 e 2 tal que f^prime(x)=1

Passo 1

Então, o enunciado nos diz que temos uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que é derivável. Sabemos os valores da função em três pontos: $ f(0) = 1 $, $ f(1) = 1 $ e $ f(2) = -1 $. O objetivo é analisar se é verdade que não existe um valor de $ x $ entre 1 e 2 tal que a derivada $ f’(x) = 1 $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, que conecta valores de funções e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Esse teorema diz que se uma função $ f $ é contínua no intervalo fechado f e derivável no intervalo aberto [a, b], então existe pelo menos um ponto $ c $ em $ (a, b) $ onde a derivada é igual à taxa de variação média da função nesse intervalo, ou seja:
(a, b)

Passo 3

Aplicando o Teorema do Valor Médio no intervalo [1, 2], temos:
f'(c) = f(2) - f(1)2 - 1 = -1 - 11 = -21 = -2
Isso significa que existe pelo menos um ponto $ c $ em $ (1, 2) $ onde $ f’© = -2 $.

Passo 4

Agora, queremos analisar se existe um ponto onde $ f’(x) = 1 $ no mesmo intervalo. Sabemos que em algum ponto $ c $ temos $ f’© = -2 $. A derivada $ f’(x) $ representa a inclinação da função $ f $ naquele ponto. Se em um ponto a inclinação é f'(x) = 1 , é possível que a função mude sua inclinação ao longo do intervalo.

Passo 5

Para verificar se $ f’(x) = 1 $ pode ocorrer, vamos considerar a possibilidade de que a derivada passe de f'(x) = 1 a algum outro valor. Porém, com as informações dadas, não temos garantia de que a derivada atinja todos os valores entre -2 e algum outro limite. Portanto, não podemos afirmar com certeza que $ f’(x) = 1 $ ocorre no intervalo -2.

Resposta

Não podemos afirmar que existe um $ x $ entre 1 e 2 tal que $ f’(x) = 1 $.

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