Sabendo que
é derivável e que
, podemos afirmar que:
Não existe
entre 1 e 2 tal que
Não existe
Passo 1
Então, o enunciado nos diz que temos uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que é derivável. Sabemos os valores da função em três pontos: $ f(0) = 1 $, $ f(1) = 1 $ e $ f(2) = -1 $. O objetivo é analisar se é verdade que não existe um valor de $ x $ entre 1 e 2 tal que a derivada $ f’(x) = 1 $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, que conecta valores de funções e suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Esse teorema diz que se uma função $ f $ é contínua no intervalo fechado
e derivável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto $ c $ em $ (a, b) $ onde a derivada é igual à taxa de variação média da função nesse intervalo, ou seja:
Passo 3
Aplicando o Teorema do Valor Médio no intervalo
, temos:
Isso significa que existe pelo menos um ponto $ c $ em $ (1, 2) $ onde $ f’© = -2 $.
Passo 4
Agora, queremos analisar se existe um ponto onde $ f’(x) = 1 $ no mesmo intervalo. Sabemos que em algum ponto $ c $ temos $ f’© = -2 $. A derivada $ f’(x) $ representa a inclinação da função $ f $ naquele ponto. Se em um ponto a inclinação é
, é possível que a função mude sua inclinação ao longo do intervalo.
Passo 5
Para verificar se $ f’(x) = 1 $ pode ocorrer, vamos considerar a possibilidade de que a derivada passe de
a algum outro valor. Porém, com as informações dadas, não temos garantia de que a derivada atinja todos os valores entre
e algum outro limite. Portanto, não podemos afirmar com certeza que $ f’(x) = 1 $ ocorre no intervalo
.
Resposta
Não podemos afirmar que existe um $ x $ entre 1 e 2 tal que $ f’(x) = 1 $.