f(x, y, z)=\ln \left(x+y z^{2}\right) .
Calcule f_{x}, f_{y}, f_{z}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\ln\!\bigl(x+y z^{2}\bigr)
e pede as derivadas parciais \,f_{x},\,f_{y},\,f_{z}.
Observação sobre domínio: a expressão dentro do logaritmo deve ser positiva, ou seja \,x+y z^{2}>0, mas isso não altera o cálculo das derivadas, apenas delimita onde a função está bem definida.

Passo 2

Conceito e regra que vamos usar (bem mastigado):
  • Derivada parcial: para calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} tratamos y e z como constantes e derivamos em relação a x. O mesmo raciocínio vale para \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.
  • Regra da cadeia (caso composto): se f(u)=\ln u e u=h(x,y,z), então a derivada parcial em relação a uma variável t é
\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{d}{du}\bigl(\ln u\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial t}.
Aqui u representa x+y z^{2}; a primeira parte \dfrac{1}{u} vem de derivar \ln u em relação a u (regra básica: \dfrac{d}{du}\ln u=\dfrac{1}{u}), e a segunda parte é a derivada do interno u em relação à variável escolhida.

Passo 3

Defino o interno
u(x,y,z)=x+y z^{2}.
Agora f(x,y,z)=\ln u(x,y,z). Para \dfrac{\partial f}{\partial x} aplico a regra da cadeia:
  • Primeiro calcule u_{x}: como u=x+y z^{2} e y,z são constantes quando derivamos em x, tem-se
u_{x}=1.
  • Então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{u}\cdot u_{x}=\frac{1}{x+y z^{2}}\cdot 1=\frac{1}{x+y z^{2}}.

Passo 4

Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}:
  • Calcule u_{y}: ao derivar x+y z^{2} em relação a y, x é constante e a derivada de y z^{2} em relação a y é z^{2} (pois z é constante aqui). Assim
u_{y}=z^{2}.
  • Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{u}\cdot u_{y}=\frac{z^{2}}{x+y z^{2}}.

Passo 5

Agora \dfrac{\partial f}{\partial z}:
  • Calcule u_{z}: diferenciando x+y z^{2} em relação a z, x é constante e a derivada de y z^{2} em relação a z é y\cdot 2z=2yz (pois y é tratado como constante). Logo
u_{z}=2yz.
  • Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{u}\cdot u_{z}=\frac{2yz}{x+y z^{2}}.

Resposta

f_{x}=\dfrac{1}{x+y z^{2}}
f_{y}=\dfrac{z^{2}}{x+y z^{2}}
f_{z}=\dfrac{2yz}{x+y z^{2}}

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