Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais
.
Observação sobre domínio: a expressão dentro do logaritmo deve ser positiva, ou seja , mas isso não altera o cálculo das derivadas, apenas delimita onde a função está bem definida.
Observação sobre domínio: a expressão dentro do logaritmo deve ser positiva, ou seja
Passo 2
Conceito e regra que vamos usar (bem mastigado):
- Derivada parcial: para calcular
tratamos e como constantes e derivamos em relação a . O mesmo raciocínio vale para e . - Regra da cadeia (caso composto): se
e , então a derivada parcial em relação a uma variável é
Aqui
representa
; a primeira parte
vem de derivar
em relação a
(regra básica:
), e a segunda parte é a derivada do interno
em relação à variável escolhida.
Passo 3
Defino o interno
Agora
. Para
aplico a regra da cadeia:
- Primeiro calcule
: como e são constantes quando derivamos em , tem-se
- Então
Passo 4
Agora
:
- Calcule
: ao derivar em relação a , é constante e a derivada de em relação a é (pois é constante aqui). Assim
- Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora
:
- Calcule
: diferenciando em relação a , é constante e a derivada de em relação a é (pois é tratado como constante). Logo
- Pela regra da cadeia: