Seja
u=f(x, y), x=t^{2}, y=e^{t}
Encontre d u / d t.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
u = f(x,y),\qquad x = t^{2},\qquad y = e^{t}.
A pergunta é: encontrar \dfrac{d u}{d t}, ou seja, a taxa de variação de u em função de t.

Passo 2

Ideia principal (em palavras): u depende de x e y, e essas, por sua vez, dependem de t. Para calcular \dfrac{d u}{d t} usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis, que combina as derivadas parciais de f com as derivadas de x(t) e y(t).

Passo 3

Definições e notação que vamos usar:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)
é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo), e
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)
é a derivada parcial de f em relação a y (mantendo x fixo).
A forma geral da regra da cadeia (derivando u(t)=f(x(t),y(t))) é
\frac{d u}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))\cdot\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t))\cdot\frac{d y}{d t}.
Explicação curta do porquê: para um pequeno incremento dt temos a aproximação linear
du \approx \frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy,
dividindo por dt e passando ao limite obtém-se a fórmula acima.

Passo 4

Calcular as derivadas de x(t) e y(t):
\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\bigl(t^{2}\bigr)=2t,
\frac{d y}{d t}=\frac{d}{d t}\bigl(e^{t}\bigr)=e^{t}.
Aqui usei as regras básicas: derivada de t^{2} é 2t e derivada de e^{t} é e^{t}.

Passo 5

Substituindo \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{d x}{d t} e \dfrac{d y}{d t} na fórmula da regra da cadeia, obtemos
\frac{d u}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot 2t+\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot e^{t}.
Como x(t)=t^{2} e y(t)=e^{t}, fica mais explícito escrever
\frac{d u}{d t}= \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(t^{2},e^{t}\bigr)\cdot 2t + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(t^{2},e^{t}\bigr)\cdot e^{t}.

Passo 6

Exemplo concreto para ver como aplicar na prova (opcional, só para treinar):
se \displaystyle f(x,y)=x^{2}y+\sin(y), então
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}+\cos(y).
Substituindo x=t^{2} e y=e^{t} e multiplicando pelas derivadas de x e y:
\frac{d u}{d t}=\bigl(2x y\bigr)\big|_{x=t^{2},y=e^{t}}\cdot 2t + \bigl(x^{2}+\cos(y)\bigr)\big|_{x=t^{2},y=e^{t}}\cdot e^{t},
o que dá, após substituir,
\frac{d u}{d t}= \bigl(2t^{2}e^{t}\bigr)\cdot 2t + \bigl(t^{4}+\cos(e^{t})\bigr)\cdot e^{t}.
Esse passo mostra como proceder quando f é conhecida.

Resposta

\frac{d u}{d t}= \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(t^{2},e^{t}\bigr)\cdot 2t + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(t^{2},e^{t}\bigr)\cdot e^{t}.

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