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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x, y, z) = \ln(xy + z) $ e precisa encontrar as derivadas parciais em relação a $ x $, $ y $ e $ z $ no ponto $ (1, 2, 0) $. Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, que é basicamente derivar a função mantendo as outras variáveis constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. A derivada parcial em relação a $ x $ significa que tratamos $ y $ e $ z $ como constantes. A função é:
A derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} $. Aqui, $ u = xy + z $, então:
Agora, substituímos $ x = 1 $, $ y = 2 $ e $ z = 0 $:
Passo 3
Agora, vamos para a derivada parcial em relação a $ y $. Similarmente, tratamos $ x $ e $ z $ como constantes. A derivada é:
Substituindo $ x = 1 $, $ y = 2 $ e $ z = 0 $:
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ z $. Aqui, $ x $ e $ y $ são constantes. A derivada é:
Substituindo $ x = 1 $, $ y = 2 $ e $ z = 0 $:
Resposta
As derivadas parciais no ponto $ (1, 2, 0) $ são: