Resolva a inequação log x(2 x^2-5 x+2)>1

Passo 1

Resumindo, queremos achar todos os x tais que
logxl(2x^2-5x+2r)>1
Para isso vamos precisar garantir a existência do logaritmo (base positiva distinta de 1, argumento positivo) e usar a monotonicidade de logx(cdot): se 0<x<1 ele é decrescente e se x>1 ele é crescente.

Passo 2

Impondo argumento positivo:
2x^2-5x+2>0
As raízes da equação 2x^2-5x+2=0 são
x=5pmraiz25-164=5pm34implies x=tfrac12 ou x=2
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a inequação vale para
x<tfrac12ou x>2
Além disso, base do log exige x>0 e xneq1. Logo o domínio passa a ser
xin(0,tfrac12);cup;(2,infty), xneq1

Passo 3

Vamos agora dividir em dois casos, conforme a monotonicidade:
  1. 0<x<1 (aqui só cabe 0<x<tfrac12), log é decrescente, então
logx(2x^2-5x+2)>1 ;Long<=ftrightarrow; 2x^2-5x+2 < x
  1. x>1 (aqui só cabe x>2), log é crescente, então
logx(2x^2-5x+2)>1 ;Long<=ftrightarrow; 2x^2-5x+2 > x

Passo 4

Caso 0<x<tfrac12:
2x^2-5x+2 < x ;Longrightarrow; 2x^2-6x+2<0 ;Longrightarrow; x^2-3x+1<0
As raízes de x^2-3x+1=0 são
x=3pmraiz9-42=3pmraiz52
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a inequação vale para
3-raiz52<x<3+raiz52
Interseccionando com 0<x<tfrac12 (e lembrando tfrac3-raiz52approx0,382), obtemos
xinl(tfrac3-raiz52,tfrac12r)

Passo 5

Caso x>2:
2x^2-5x+2 > x ;Longrightarrow; 2x^2-6x+2>0 ;Longrightarrow; x^2-3x+1>0
Essa inequação vale para
x<3-raiz52ou x>3+raiz52
Interseccionando com x>2 (e sabendo tfrac3+raiz52approx2,618), ficamos com
xinl(tfrac3+raiz52,inftyr)

Passo 6

Unindo os dois pedaços válidos dentro do domínio, a solução final é
xinl(tfrac3-raiz52,tfrac12r);cup;l(tfrac3+raiz52,inftyr)

Resposta

boxedxinl(tfrac3-raiz52,tfrac12r)cupl(tfrac3+raiz52,inftyr)

Exercícios relacionados