Se
;
é o cubo no primeiro octante, limitado pelos planos
e pelos planos coordenados, ache o fluxo de
através de
. Sugestão use o teorema do divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é um cubo no primeiro octante limitado pelos planos
,
,
e pelos planos coordenados. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que relaciona o fluxo através da superfície com a divergente do campo no volume fechado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergente. Esse teorema nos diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral tripla da divergente de
sobre o volume
limitado por
. Em fórmula:
Passo 3
Vamos calcular a divergente de
. A divergente
é dada por:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, vamos integrar a divergente sobre o volume do cubo no primeiro octante limitado por
,
,
. As integrais serão de 0 a 1 para cada variável
,
e
, já que o cubo vai de 0 a 1 em cada direção.
A integral tripla fica assim:
Como não há termos que dependem de
, a integral em
é fácil:
Portanto, a integral simplifica para:
Passo 5
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Resposta
O fluxo de
através de
é igual a
.