Se F(x, y, z)=x^2 y imath+y^2 jmath+x z k; S é o cubo no primeiro octante, limitado pelos planos x=1, y=1, z=1 e pelos planos coordenados, ache o fluxo de F através de S. Sugestão use o teorema do divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é um cubo no primeiro octante limitado pelos planos , , e pelos planos coordenados. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que relaciona o fluxo através da superfície com a divergente do campo no volume fechado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergente. Esse teorema nos diz que o fluxo de um campo vetorial integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV através de uma superfície fechada é igual à integral tripla da divergente de sobre o volume limitado por . Em fórmula:

Passo 3

Vamos calcular a divergente de nabla cdot F = partialpartial x(x^2 y) + partialpartial y(y^2) + partialpartial z(x z) . A divergente partialpartial x(x^2 y) = 2x y é dada por:
partialpartial y(y^2) = 2y
Calculando cada derivada:
partialpartial z(x z) = x
nabla cdot F = 2x y + 2y + x = x(2y + 1) + 2y
Então,

Passo 4

Agora, vamos integrar a divergente sobre o volume do cubo no primeiro octante limitado por integral triplaV (2x y + 2y + x) , dx, dy, dz , integral0^1 dz = 1 , integral0^1 integral0^1 (2x y + 2y + x) , dx, dy . As integrais serão de 0 a 1 para cada variável , e , já que o cubo vai de 0 a 1 em cada direção.
A integral tripla fica assim:
Como não há termos que dependem de , a integral em é fácil:
Portanto, a integral simplifica para:

Passo 5

Vamos integrar em relação a integral0^1 (2x y + 2y + x) , dx = integral0^1 2x y , dx + integral0^1 2y , dx + integral0^1 x , dx primeiro:
integral0^1 2x y , dx = 2y [ x^22 ]0^1 = 2y ( 12 - 0 ) = y
Calculando cada parte:
integral0^1 2y , dx = 2y [x]0^1 = 2y (1 - 0) = 2y
integral0^1 x , dx = [ x^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12
y + 2y + 12 = 3y + 12
Somando tudo:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integral0^1 ( 3y + 12 ) dy = integral0^1 3y , dy + integral0^1 12 , dy :
integral0^1 3y , dy = 3 [ y^22 ]0^1 = 3 ( 12 - 0 ) = 32
Calculando cada parte:
integral0^1 12 , dy = 12 [y]0^1 = 12 (1 - 0) = 12
32 + 12 = 2
Somando tudo:

Resposta

O fluxo de através de é igual a .

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