Use o teste da raiz para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
(b) sumn=0^infty(arctg n)^n

Passo 1

Estamos analisando a série sumn=0^infty(arctan n)^n e queremos aplicar o teste da raiz para verificar convergência absoluta. Iremos usar o conceito de L=limsupntoinftyraiz[n]|an| e comparar com 1.

Passo 2

Calculamos o índice de convergência pelo teste da raiz:
L=limsupntoinftyraiz[n]l|(arctan n)^nr|
Como os termos são não-negativos, isso vira
L=limntoinftyraiz[n](arctan n)^n=limntoinfty(arctan n)=pi2

Passo 3

Como L=pi/2>1, o teste da raiz diz que a série diverge. Portanto ela não é absolutamente convergente.

Resposta

A série diverge, pois limsupntoinftyraiz[n](arctan n)^n=pi/2>1.

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