Resolva as seguintes integrais
integral0^1 x^3raizx^2+1 d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral integral0^1 x^3raizx^2+1 , dx. Essa questão envolve cálculo integral, especificamente integrais que exigem substituição para simplificar. Vamos precisar usar a técnica de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Observando o denominador raizx^2+1, podemos fazer uma substituição que envolva x^2 + 1. Vamos definir:
u = x^2 + 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du em termos de dx. Derivando u em relação a x:
du = 2x , dx
Isso nos ajuda a substituir o x , dx na integral.

Passo 4

Voltemos à nossa integral original:
integral0^1 x^3raizx^2+1 , dx
Podemos escrever x^3 como x^2 cdot x. Lembrando que x^2 = u - 1 (da nossa substituição anterior), então:
integral (u - 1) cdot xraizu cdot du2x
Aqui, substituímos x , dx por du2.

Passo 5

Simplificando a expressão:
integral (u - 1)raizu cdot du2 = 12 integral u - 1raizu , du
Agora, vamos dividir a fração:
u - 1raizu = uraizu - 1raizu = u^1/2 - u^-1/2

Passo 6

Agora, a integral fica mais simples:
12 integral ( u^1/2 - u^-1/2 ) du
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Integrando u^1/2:
integral u^1/2 , du = u^3/23/2 = 23 u^3/2
E integrando u^-1/2:
integral u^-1/2 , du = u^1/21/2 = 2 u^1/2

Passo 8

Colocando tudo junto:
12 ( 23 u^3/2 - 2 u^1/2 ) = 13 u^3/2 - u^1/2

Passo 9

Agora, substituímos u = x^2 + 1 de volta na expressão:
13 (x^2 + 1)^3/2 - (x^2 + 1)^1/2

Passo 10

Vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 1:
Para x = 1:
13 (1^2 + 1)^3/2 - (1^2 + 1)^1/2 = 13 (2)^3/2 - (2)^1/2 = 13 cdot 2raiz2 - raiz2 = 2raiz23 - raiz2 = -raiz23
Para x = 0:
13 (0^2 + 1)^3/2 - (0^2 + 1)^1/2 = 13 (1)^3/2 - (1)^1/2 = 13 - 1 = -23

Passo 11

Agora, subtraímos o valor em x = 0 do valor em x = 1:
( -raiz23 ) - ( -23 ) = -raiz23 + 23 = 2 - raiz23

Resposta

A integral integral0^1 x^3raizx^2+1 , dx é igual a 2 - raiz23.

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