Resolva as seguintes integrais
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral
. Essa questão envolve cálculo integral, especificamente integrais que exigem substituição para simplificar. Vamos precisar usar a técnica de substituição para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Observando o denominador
, podemos fazer uma substituição que envolva
. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Isso nos ajuda a substituir o
na integral.
Passo 4
Voltemos à nossa integral original:
Podemos escrever
como
. Lembrando que
(da nossa substituição anterior), então:
Aqui, substituímos
por
.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, vamos dividir a fração:
Passo 6
Agora, a integral fica mais simples:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Integrando
:
E integrando
:
Passo 8
Colocando tudo junto:
Passo 9
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Passo 10
Vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Passo 11
Agora, subtraímos o valor em
do valor em
:
Resposta
A integral
é igual a
.