-
Calcular
Passo 1
O enunciado nos dá a função
de três variáveis
e pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem puras:
-
, -
, -
.
As informações relevantes são apenas a expressão de
e que as derivadas pedidas são as segundas derivadas parciais em relação a cada variável isoladamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, é a derivada de
supondo que
e
são constantes. Em definição por limite:
Analogamente definem-se
e
.
A segunda derivada parcial pura
é a derivada parcial em relação a
da função
:
O mesmo vale para
e
.
Passo 3
Calcular
. Como
, ao diferenciar em relação a
tratamos
e
como constantes. Uma maneira direta é ver
como o produto de
por uma constante
. A derivada de
em relação a
é
, logo
Aqui
é função que não depende de
(é considerada constante quando derivamos em
).
Passo 4
Calcular
. Agora derivamos
em relação a
. Como
não depende de
, sua derivada em relação a
é zero:
Passo 5
Calcular
. Pela mesma lógica, ao derivar
em relação a
tratamos
e
como constantes. Vemos
como
multiplicado pela constante
. Assim
Passo 6
Calcular
. Agora derivamos
em relação a
. Como
não depende de
, obtemos
Passo 7
Calcular
e
. De forma análoga, derivando
em relação a
(tratando
e
como constantes) temos
Derivando novamente em
,
pois
não depende de
.