1. f(x, y, z)=x y z\left(\right. Calcular \left.f_{x x}, f_{y y}, f_{z z}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f de três variáveis
f(x,y,z)=x\,y\,z
e pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem puras:
  • f_{xx},
  • f_{yy},
  • f_{zz}.
As informações relevantes são apenas a expressão de f e que as derivadas pedidas são as segundas derivadas parciais em relação a cada variável isoladamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. A derivada parcial de f em relação a x, denotada por f_x, é a derivada de f supondo que y e z são constantes. Em definição por limite:
f_x(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Analogamente definem-se f_y e f_z.
A segunda derivada parcial pura f_{xx} é a derivada parcial em relação a x da função f_x:
f_{xx}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f_x(x,y,z)\bigr).
O mesmo vale para f_{yy} e f_{zz}.

Passo 3

Calcular f_x. Como f(x,y,z)=x\,y\,z, ao diferenciar em relação a x tratamos y e z como constantes. Uma maneira direta é ver f como o produto de x por uma constante y z. A derivada de x em relação a x é 1, logo
f_x(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}(x\,y\,z)=y\,z.
Aqui y\,z é função que não depende de x (é considerada constante quando derivamos em x).

Passo 4

Calcular f_{xx}. Agora derivamos f_x(x,y,z)=y\,z em relação a x. Como y\,z não depende de x, sua derivada em relação a x é zero:
f_{xx}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}(y\,z)=0.

Passo 5

Calcular f_y. Pela mesma lógica, ao derivar f em relação a y tratamos x e z como constantes. Vemos f como y multiplicado pela constante x z. Assim
f_y(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial y}(x\,y\,z)=x\,z.

Passo 6

Calcular f_{yy}. Agora derivamos f_y(x,y,z)=x\,z em relação a y. Como x\,z não depende de y, obtemos
f_{yy}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial y}(x\,z)=0.

Passo 7

Calcular f_z e f_{zz}. De forma análoga, derivando f em relação a z (tratando x e y como constantes) temos
f_z(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial z}(x\,y\,z)=x\,y.
Derivando novamente em z,
f_{zz}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial z}(x\,y)=0,
pois x\,y não depende de z.

Resposta

f_{xx}=0
f_{yy}=0
f_{zz}=0

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