1. \lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)} \frac{4-x y}{x^{2}+3 y}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pede-se calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(2,1)} \frac{4-xy}{x^{2}+3y}.
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{4-xy}{x^{2}+3y}.
  • O ponto onde nos aproximamos é (2,1).
  • Informação importante a verificar: o denominador x^{2}+3y pode ser zero em (2,1) ou não — isso vai decidir se podemos simplesmente substituir.

Passo 2

Conceito e estratégia (explicação didática): quando queremos \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) devemos checar se a função tem comportamento bem definido próximo de (a,b). Uma regra prática útil e muito usada em provas:
  • Polinômios em x e y são funções contínuas: isto é, aproximar (x,y) de (a,b) aproxima o valor do polinômio do valor no ponto.
  • Soma, subtração e produto de funções contínuas são contínuas.
  • A razão \dfrac{g(x,y)}{h(x,y)} é contínua em pontos onde h(a,b)\neq 0.
  • Portanto, se a expressão é uma razão de polinômios e o denominador no ponto não é zero, a função é contínua em (a,b) e o limite é simplesmente o valor da função no ponto: substituir (x,y)=(a,b).
Este procedimento evita ter que testar caminhos diferentes quando a continuidade já garante valor único do limite.

Passo 3

Verificar o denominador no ponto dado. Calcular x^{2}+3y em (2,1):
(2)^{2}+3\cdot(1)=4+3=7.
Como 7\neq 0, o denominador não zera em (2,1).

Passo 4

Conclusão pela continuidade: como numerador e denominador são polinômios e o denominador em (2,1) é não nulo, a função é contínua em (2,1). Logo
\lim_{(x,y)\to(2,1)} \frac{4-xy}{x^{2}+3y} = \frac{4-2\cdot1}{2^{2}+3\cdot1}.
Calcular numerador e denominador:
4-2\cdot1 = 4-2 = 2, \qquad 2^{2}+3\cdot1 = 4+3 = 7.
Logo o limite vale \dfrac{2}{7}.

Passo 5

Verificação rápida por caminhos (para ganhar confiança): aproximando por y=1 e x\to2,
\lim_{x\to2}\frac{4-x\cdot1}{x^{2}+3\cdot1}=\frac{4-2}{4+3}=\frac{2}{7}.
Aproximando por x=2 e y\to1,
\lim_{y\to1}\frac{4-2y}{2^{2}+3y}=\frac{4-2}{4+3}=\frac{2}{7}.
Ambos dão o mesmo valor, consistente com a conclusão por continuidade. Força aí — isso é só substituir quando o denominador não zera!

Resposta

\dfrac{2}{7}

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