Para f(x, y, z)=x y+z^{2} \sin (x), calcule \nabla f e determine a direção na qual f cresce mais rapidamente no ponto (\pi, 1,0). (1.0 pt.)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x\,y+z^{2}\sin(x)
e pede (i) o gradiente \nabla f e (ii) a direção em que f cresce mais rápido no ponto (\pi,1,0). Para isso vamos usar o conceito de derivadas parciais e a propriedade de que a direção de crescimento máximo é a do próprio vetor gradiente.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x\,y)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(z^{2}\sin(x)\bigr) =y+z^{2}\cos(x),
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x\,y)=x,
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{2}\sin(x)\bigr) =2\,z\sin(x).
Logo,
\nabla f(x,y,z) =\bigl(y+z^{2}\cos(x),\,x,\,2z\sin(x)\bigr).

Passo 3

Avaliar \nabla f no ponto (\pi,1,0):
aqui y=1, z=0 e \cos(\pi)=-1, mas z^{2}=0, logo
\frac{\partial f}{\partial x}(\pi,1,0) =1+0=1, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(\pi,1,0)=\pi, \quad \frac{\partial f}{\partial z}(\pi,1,0)=0.
Portanto
\nabla f(\pi,1,0)=(1,\;\pi,\;0).

Passo 4

A direção de crescimento mais rápido de f em (\pi,1,0) é dada pelo vetor gradiente naquele ponto. Se quisermos uma direção unitária, normalizamos:
\mathbf{u} =\frac{\nabla f(\pi,1,0)}{\|\nabla f(\pi,1,0)\|} =\frac{(1,\pi,0)}{\sqrt{1+\pi^{2}}}.

Resposta

\displaystyle \nabla f(x,y,z)=\bigl(y+z^{2}\cos(x),\,x,\,2z\sin(x)\bigr).
No ponto (\pi,1,0) tem-se \nabla f(\pi,1,0)=(1,\pi,0), e a direção de máximo crescimento unitária é
\frac{(1,\pi,0)}{\sqrt{1+\pi^{2}}}.

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