Calcule \iint_{D} x y d A, onde D é a região do plano delimitada pelas curvas y=x^{2} e y=4… pt.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D} x\,y\,dA
onde D é a região do plano limitada pelas curvas y=x^{2} e y=4. Para resolver, vamos descrever D como um domínio de integração e montar uma integral iterada.

Passo 2

Para encontrar os limites de D, achamos as interseções de y=x^{2} e y=4:
x^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad x=\pm2.
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D=\{(x,y)\mid -2\le x\le 2,\;x^{2}\le y\le 4\}.

Passo 3

Montamos a integral iterada em x primeiro e depois em y:
\iint_{D} x\,y\,dA =\int_{x=-2}^{2}\!\int_{y=x^{2}}^{4} x\,y\,dy\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{4} x\,y\,dy = x\int_{y=x^{2}}^{4} y\,dy = x\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{y=x^{2}}^{4} = x\Bigl(\tfrac{16}{2}-\tfrac{x^{4}}{2}\Bigr) =8x-\tfrac{x^{5}}{2}.

Passo 5

Agora resta integrar em x:
\int_{x=-2}^{2}\Bigl(8x-\tfrac{x^{5}}{2}\Bigr)\,dx.
Como a função
f(x)=8x-\tfrac{x^{5}}{2}
é ímpar e o intervalo de integração é simétrico em torno de zero, essa integral vale zero.

Resposta

0

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