Se F(x, y, z)=x z imath+x y z jmath-y^2 k determine o rotacional de F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = xz,imath + xyz,jmath - y^2,k. Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente relacionado a derivadas parciais e operações com campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula do rotacional e calcular algumas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou nabla times F, nos dá uma medida de quanto o campo vetorial está “girando” em torno de um ponto. A fórmula para calcular o rotacional de F = P,imath + Q,jmath + R,k é:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z )imath + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x )jmath + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y )k
Vamos identificar P, Q e R no nosso campo vetorial.

Passo 3

Observando F(x, y, z) = xz,imath + xyz,jmath - y^2,k, identificamos:
P = xz, Q = xyz, R = -y^2
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para a fórmula do rotacional.

Passo 4

Primeiro, calculemos partial Rpartial y:
partial Rpartial y = partial (-y^2)partial y = -2y
Em seguida, partial Qpartial z:
partial Qpartial z = partial (xyz)partial z = xy
Agora, vamos para o próximo termo: partial Ppartial z:
partial Ppartial z = partial (xz)partial z = x
E partial Rpartial x:
partial Rpartial x = partial (-y^2)partial x = 0
Por fim, partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partial (xyz)partial x = yz
E partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partial (xz)partial y = 0

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do rotacional:
nabla times F = ( -2y - xy )imath + ( x - 0 )jmath + ( yz - 0 )k
Simplificando cada componente:
nabla times F = (-2y - xy)imath + x,jmath + yz,k

Resposta

O rotacional de F é:
nabla times F = (-2y - xy),imath + x,jmath + yz,k

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