Se
determine o rotacional de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o rotacional do campo vetorial
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente relacionado a derivadas parciais e operações com campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula do rotacional e calcular algumas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou
, nos dá uma medida de quanto o campo vetorial está “girando” em torno de um ponto. A fórmula para calcular o rotacional de
é:
Vamos identificar
,
e
no nosso campo vetorial.
Passo 3
Observando
, identificamos:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para a fórmula do rotacional.
Passo 4
Primeiro, calculemos
:
Em seguida,
:
Agora, vamos para o próximo termo:
:
E
:
Por fim,
:
E
:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando cada componente:
Resposta
O rotacional de
é: