Use coordenadas esféricas para reescrever a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente reescrever uma integral tripla usando coordenadas esféricas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre integração em diferentes sistemas de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para esféricas e ajustar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em vez de usar
,
e
, usamos
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo no plano
) e
(o ângulo entre o vetor posição e o eixo
). As relações de conversão são:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o integrando da nossa integral original:
. Em coordenadas esféricas, isso simplifica para
, porque
.
Passo 4
O próximo passo é ajustar o volume elementar
na integral. Em coordenadas esféricas,
é dado por:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração. Observando os limites originais, vemos que a região de integração é uma esfera de raio 3 centrada na origem. Portanto:
Passo 6
Substituindo tudo na integral original, temos:
Simplificando:
Resposta
A integral reescrita em coordenadas esféricas fica: