Use coordenadas esféricas para reescrever a integral.
integral-3^3 integral-raiz9-y^2^raiz9-y^2 integral-raiz9-x^2-y^2^raiz9-x^2-y^2 raizx^2+y^2+z^2 d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente reescrever uma integral tripla usando coordenadas esféricas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre integração em diferentes sistemas de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para esféricas e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em vez de usar x, y e z, usamos rho (a distância do ponto até a origem), theta (o ângulo no plano xy) e phi (o ângulo entre o vetor posição e o eixo z). As relações de conversão são:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi

Passo 3

Agora, vamos olhar para o integrando da nossa integral original: raizx^2+y^2+z^2. Em coordenadas esféricas, isso simplifica para rho, porque rho = raizx^2+y^2+z^2.

Passo 4

O próximo passo é ajustar o volume elementar dV na integral. Em coordenadas esféricas, dV é dado por:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração. Observando os limites originais, vemos que a região de integração é uma esfera de raio 3 centrada na origem. Portanto:
rho varia de 0 a 3
phi varia de 0 a pi
theta varia de 0 a 2pi

Passo 6

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral0^2pi integral0^pi integral0^3 rho cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando:
integral0^2pi integral0^pi integral0^3 rho^3 sinphi , drho , dphi , dtheta

Resposta

A integral reescrita em coordenadas esféricas fica:
integral0^2pi integral0^pi integral0^3 rho^3 sinphi , drho , dphi , dtheta

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