F=(y cos (x y)-e^y sen x, e^y cos x+x cos (x y))
(a) Encontre uma função potencial f.
(b) Calcule a integral integralC F cdot d r, onde C é uma curva plana dada por
r=(t e^cos t, e^sent)
percorida de t=pi ate t=0.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r) =l(ycos(xy)-e^ysin x,;e^ycos x+xcos(xy)r)
e pede:
(a) encontrar uma função potencial f(x,y) tal que nabla f=F;
(b) calcular integralCFcdot dr em que
r(t)=l(t e^cos t,,e^sin tr) de t=pi até t=0.
O conteúdo aqui é Campos Conservativos e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Para achar f, usamos
partial fpartial x=P(x,y)=ycos(xy)-e^ysin x
Integramos em relação a x:
integral ycos(xy),dx=sin(xy), integral e^ysin x,dx=-e^ycos x,
logo, até uma função de y,
f(x,y)=sin(xy)+e^ycos x + h(y)

Passo 3

Agora imponho partial f/partial y=Q(x,y). Calculando,
partial fpartial y =xcos(xy)+e^ycos x + h'(y)
deve ser igual a
Q(x,y)=e^ycos x + xcos(xy)
Comparando, vem h'(y)=0, ou seja h(y)=constante. Podemos escolher a constante igual a zero. Assim,
boxedf(x,y)=sin(xy)+e^ycos x

Passo 4

Como F é conservativo, vale o Teorema Fundamental:
integralCFcdot dr =fl(r(0)r)-fl(r(pi)r)
Precisamos dos pontos finais e iniciais:
Em t=pi:
r(pi) =l(pi e^cospi,,e^sinpir) =l(pi e^-1,,1r)
Em t=0:
r(0) =l(0cdot e^cos0,,e^sin0r) =(0,,1)

Passo 5

Calculamos f nesses pontos:
Em (0,1):
f(0,1) =sin(0cdot1)+e^1cos0 =0+ecdot1 =e
Em l(tfracpie,1r):
fl(tfracpie,1r) =sin!l(tfracpier) +e^1cos!l(tfracpier) =sin!l(tfracpier) +e,cos!l(tfracpier)
Logo,
integralCFcdot dr =e-l[sin!l(tfracpier)+e,cos!l(tfracpier)r] = e - sin!l(tfracpier) - e,cos!l(tfracpier)

Resposta

(a) f(x,y)=sin(xy)+e^ycos x
(b) integralCFcdot dr = e - sin!l(tfracpier) - e,cos!l(tfracpier)

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