(a) Encontre uma função potencial
.
(b) Calcule a integral
, onde
é uma curva plana dada por
percorida de
ate
.
(b) Calcule a integral
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede:
(a) encontrar uma função potencial tal que
;
(b) calcular em que
de
até
.
O conteúdo aqui é Campos Conservativos e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
(a) encontrar uma função potencial
(b) calcular
O conteúdo aqui é Campos Conservativos e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Passo 2
Para achar
, usamos
Integramos em relação a
:
logo, até uma função de
,
Passo 3
Agora imponho
. Calculando,
deve ser igual a
Comparando, vem
, ou seja
. Podemos escolher a constante igual a zero. Assim,
Passo 4
Como
é conservativo, vale o Teorema Fundamental:
Precisamos dos pontos finais e iniciais:
Em
:
Em
:
Passo 5
Calculamos
nesses pontos:
Em
:
Em
:
Logo,
Resposta
(a)
(b)
(b)