Seja a função
. Justificando, estude a continuidade da função
f .
Passo 1
O enunciado define uma função por partes em toda a reta real e pede para estudar a continuidade. O conteúdo principal aqui são limites, descontinuidades removíveis e “infinita”, além de continuidade de funções racionais e do tipo
xmapsto xln|x-5| .
Passo 2
No ramo em que
x<2 e
xneq1 , temos
Como é uma função racional, ela é contínua em cada intervalo onde o denominador não zera, isto é em
(-infty,1) e em
(1,2) .
Passo 3
No ponto
x=1 temos
f(1)=-2 . Calculando o limite à volta,
que coincide com o valor definido
f(1) . Logo
f é contínua em
x=1 (descontinuidade removível que foi “consertada”).
Passo 4
No ponto
x=2 a parte esquerda dá
enquanto o valor por definição é
que é finito. Portanto há descontinuidade de tipo infinito em
x=2 .
Passo 5
Para
x>=2 com
xneq5 a função é
Como
x e
ln|x-5| são contínuas onde
|x-5|>0 , o produto é contínuo em
[2,5) e em
(5,infty) .
Passo 6
No ponto
x=5 o limite
não coincide com
f(5)=10 . Logo há descontinuidade de tipo infinito em
x=5 .
Resposta
A função
f é contínua em todos os pontos de
R exceto em
x=2 e
x=5 , onde apresenta descontinuidades de tipo infinito.