Seja a função f(x)=cx^3-xx^2-3 x+2, x<2 e x neq 1 -2, x=1 10, x=5 x ln |x-5|, x >= 2 e x neq 5. Justificando, estude a continuidade da função f.

Passo 1

O enunciado define uma função por partes em toda a reta real e pede para estudar a continuidade. O conteúdo principal aqui são limites, descontinuidades removíveis e “infinita”, além de continuidade de funções racionais e do tipo xmapsto xln|x-5|.

Passo 2

No ramo em que x<2 e xneq1, temos
f(x)=x^3-xx^2-3x+2 =x(x^2-1)(x-1)(x-2) =x(x-1)(x+1)(x-1)(x-2) =x(x+1)x-2
Como é uma função racional, ela é contínua em cada intervalo onde o denominador não zera, isto é em (-infty,1) e em (1,2).

Passo 3

No ponto x=1 temos f(1)=-2. Calculando o limite à volta,
limxto1x(x+1)x-2 =1cdot21-2 =-2,
que coincide com o valor definido f(1). Logo f é contínua em x=1 (descontinuidade removível que foi “consertada”).

Passo 4

No ponto x=2 a parte esquerda dá
limxto2^-x(x+1)x-2 =60^- =-infty,
enquanto o valor por definição é
f(2)=2ln|2-5|=2ln3,
que é finito. Portanto há descontinuidade de tipo infinito em x=2.

Passo 5

Para x>=2 com xneq5 a função é
f(x)=xln|x-5|
Como x e ln|x-5| são contínuas onde |x-5|>0, o produto é contínuo em [2,5) e em (5,infty).

Passo 6

No ponto x=5 o limite
limxto5xln|x-5| =5cdot(-infty) =-infty
não coincide com f(5)=10. Logo há descontinuidade de tipo infinito em x=5.

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos de R exceto em x=2 e x=5, onde apresenta descontinuidades de tipo infinito.

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