Se f(z) e f(z) e forem analíticas em um domínio D, o que pode ser dito a respeito de f em todos os pontos em D ?

Passo 1

O enunciado diz que tanto f(z) quanto f(z) são analíticas em um domínio D. O conteúdo envolve funções analíticas em variáveis complexas e as equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Escrevemos f(z)=u(x,y)+i,v(x,y). Como f é analítica, as equações de Cauchy-Riemann são
ux=vy, uy=-vx

Passo 3

Agora, considere g(z)=f(z)=u(x,y)-i,v(x,y). Como g também é analítica, elas satisfazem Cauchy-Riemann:
ux=-vy, uy=vx

Passo 4

Comparando as equações de f e de f vemos que
ux=vy=-vyimplies vy=0, ux=0,
uy=-vx=vximplies vx=0, uy=0

Passo 5

Como todas as derivadas parciais de u e v são zero, u e v são constantes em D. Portanto f(z)=u+iv é constante em D.

Resposta

f(z) é constante em D.

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