Desenvolva f(z)=1(z+1)(z+3) em série de Laurent em:
0<|z+1|<2 Rightarrow |z+1|2<1
1(z+1)(z+3)=1(z+1)(z+1+2) z+1=u
1u(u+2)=12 u(1+u2)=12 u1-u2+u^24-u^33!8+ldots=12(z+1)-14+(z+1)8-(z+1)^296+ldots

Passo 1

Temos a função f(z)=1(z+1)(z+3) e queremos sua série de Laurent centrada em z=-1, válida para 0<|z+1|<2. O conteúdo é séries de Laurent e vamos precisar usar a expansão geométrica de 1/(1+x).

Passo 2

Faço a mudança de variável u=z+1. Assim
f(z)=1(z+1)(z+3)=1u,(u+2)
Isso nos centra em u=0 e permite usar séries em |u|<2.

Passo 3

Escrevo
1u+2=12l(1+ u2r)
Logo
f(z)=1u(u+2)=12ucdot11+ u2
Aqui uso a forma prontinha para aplicar a expansão geométrica.

Passo 4

Como |u/2|<1, temos
11+ u2=sumn=0^infty(-1)^nl( u2r)^n
Multiplicando por 1/(2u)
f(z)=12usumn=0^infty(-1)^nu^n2^n= sumn=0^infty(-1)^nu^n-12^n+1

Passo 5

Voltando para z com u=z+1, obtemos a forma final da série de Laurent:
f(z)=sumn=0^infty(-1)^n(z+1)^n-12^n+1
Podemos listar os primeiros termos:

Passo 6

12(z+1)-14+z+18-(z+1)^216+(z+1)^332-cdots

Resposta

A série de Laurent de f(z) para 0<|z+1|<2 é
f(z)=sumn=0^infty(-1)^n(z+1)^n-12^n+1
ou, expandindo,
f(z)=12(z+1)-14+z+18-(z+1)^216+cdots

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