Prove que
\frac{d}{d z} \operatorname{arctgh} z=\frac{1}{1-z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de \operatorname{arctgh}z. Este é o estudo da derivada de uma função inversa (hiperbólica) e usaremos a representação logarítmica
\operatorname{arctgh}z = \tfrac12 \ln\!\bigl(\tfrac{1+z}{1-z}\bigr),
além das regras de derivação de \ln u e da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, definimos explicitamente
u(z) = \frac{1+z}{1-z},
de modo que
\operatorname{arctgh}z = \frac12 \ln\bigl(u(z)\bigr).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia e a derivada de \ln, temos
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\operatorname{arctgh}z = \frac12 \cdot \frac{u'(z)}{u(z)}.

Passo 4

Calculamos u'(z):
u'(z) = \frac{(1)(1-z) - (1+z)(-1)}{(1-z)^2} = \frac{1 - z + 1 + z}{(1-z)^2} = \frac{2}{(1-z)^2}.
Logo,
\frac{u'(z)}{u(z)} = \frac{\displaystyle \frac{2}{(1-z)^2}}{\displaystyle \frac{1+z}{1-z}} = \frac{2}{(1-z)^2}\cdot\frac{1-z}{1+z} = \frac{2}{1-z^2}.
Multiplicando por \tfrac12
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\operatorname{arctgh}z = \frac12 \cdot \frac{2}{1-z^2} = \frac{1}{1-z^2}.

Resposta

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\operatorname{arctgh}z = \frac{1}{1-z^2}.

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