(FAAP-SP) Num trabalho prático de topografia, um estudante de Engenharia Civil deve determinar a altura de um prédio situado em terreno plano. Instalado o aparelho adequado num ponto do terreno, o topo do prédio é visto sob um ângulo de 60^{\circ}. Afastando-se o aparelho mais 10 metros do edifício, seu topo passa a ser visto sob um ângulo de 45^{\circ}. Desprezando-se a altura do aparelho, a altura do edifício (em metros) é:
a) 10 \sqrt{3}+1
b) \frac{\sqrt{3}}{3}+10
c) \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}
d) \frac{3 \sqrt{3}}{10+\sqrt{3}}
e) \frac{10+\sqrt{3}}{3}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a altura do prédio. Lista dos dados relevantes:
  • O topo do prédio é visto sob um ângulo de \,60^\circ\, a partir de um ponto do terreno (posição inicial do aparelho).
  • Afastando-se o aparelho mais \,10\\ \text{m}\, do edifício, o topo passa a ser visto sob um ângulo de \,45^\circ\,.
  • Despreza-se a altura do aparelho (ou seja, o aparelho está no nível do terreno).
    O que se pede: determinar a altura do edifício (em metros).

Passo 2

Modelagem geométrica e definição de variáveis:
  • Vamos chamar de \,h\, a altura do prédio (o que queremos).
  • Vamos chamar de \,x\, a distância horizontal do aparelho até a base do prédio quando o ângulo é \,60^\circ.
  • Quando o aparelho se afasta \,10\\ \text{m}\,, a distância passa a ser \,x+10\,.
    Desenho mental: cada posição do aparelho forma um triângulo retângulo com o prédio, com cateto vertical h e cateto horizontal x ou x+10.

Passo 3

Recordando a razão trigonométrica que vamos usar (aula rápida):
  • Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Em fórmulas:
\tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
Aqui, para cada posição do aparelho:
  • Com ângulo \,60^\circ: \tan(60^\circ)=\dfrac{h}{x}.
  • Com ângulo \,45^\circ: \tan(45^\circ)=\dfrac{h}{x+10}.
    Além disso, valores conhecidos (triângulos notáveis):
\tan(60^\circ)=\sqrt{3},\qquad \tan(45^\circ)=1.

Passo 4

Escrevendo as equações usando as tangentes:
Da primeira posição (ângulo \,60^\circ):
h = x\cdot \tan(60^\circ)=x\sqrt{3}.
Da segunda posição (ângulo \,45^\circ):
h = (x+10)\cdot \tan(45^\circ)=x+10.

Passo 5

Igualando as duas expressões para h e resolvendo para x:
x\sqrt{3}=x+10.
Colocando x em evidência no lado esquerdo:
x(\sqrt{3}-1)=10.
Isolando x:
x=\frac{10}{\sqrt{3}-1}.

Passo 6

Encontrando h usando h=x+10 (ou h=x\sqrt{3}, as duas dão o mesmo):
Substituindo x:
h=\frac{10}{\sqrt{3}-1}+10.
Colocando em denominação comum para simplificar:
h=\frac{10}{\sqrt{3}-1}+\frac{10(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1} =\frac{10+10(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1} =\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}.

Passo 7

Verificação numérica rápida (pra ter confiança): \sqrt{3}\approx1{,}732. Então
x\approx\frac{10}{0{,}732}\approx13{,}66,\qquad h\approx x+10\approx23{,}66,
e
\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\approx\frac{17{,}32}{0{,}732}\approx23{,}66,
portanto a expressão está consistente.

Resposta

\dfrac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}

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