(FAAP-SP) Num trabalho prático de topografia, um estudante de Engenharia Civil deve determinar a altura de um prédio situado em terreno plano. Instalado o aparelho adequado num ponto do terreno, o topo do prédio é visto sob um ângulo de
. Afastando-se o aparelho mais 10 metros do edifício, seu topo passa a ser visto sob um ângulo de
. Desprezando-se a altura do aparelho, a altura do edifício (em metros) é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a altura do prédio. Lista dos dados relevantes:
- O topo do prédio é visto sob um ângulo de
a partir de um ponto do terreno (posição inicial do aparelho). - Afastando-se o aparelho mais
do edifício, o topo passa a ser visto sob um ângulo de . - Despreza-se a altura do aparelho (ou seja, o aparelho está no nível do terreno).
O que se pede: determinar a altura do edifício (em metros).
Passo 2
Modelagem geométrica e definição de variáveis:
- Vamos chamar de
a altura do prédio (o que queremos). - Vamos chamar de
a distância horizontal do aparelho até a base do prédio quando o ângulo é . - Quando o aparelho se afasta
, a distância passa a ser .
Desenho mental: cada posição do aparelho forma um triângulo retângulo com o prédio, com cateto verticale cateto horizontal ou .
Passo 3
Recordando a razão trigonométrica que vamos usar (aula rápida):
- Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Em fórmulas:
Aqui, para cada posição do aparelho:
- Com ângulo
: . - Com ângulo
: .
Além disso, valores conhecidos (triângulos notáveis):
Passo 4
Escrevendo as equações usando as tangentes:
Da primeira posição (ângulo ):
Da primeira posição (ângulo
Da segunda posição (ângulo
):
Passo 5
Igualando as duas expressões para
e resolvendo para
:
Colocando
em evidência no lado esquerdo:
Isolando
:
Passo 6
Encontrando
usando
(ou
, as duas dão o mesmo):
Substituindo :
Substituindo
Colocando em denominação comum para simplificar:
Passo 7
Verificação numérica rápida (pra ter confiança):
. Então
e
portanto a expressão está consistente.