Resolva as questões abaixo:
b) Uma escada faz um ângulo de 30^{\circ} com a parede vertical de um prédio, ao tocar o topo distante 6 m do solo. Determine o comprimento da escada.

Passo 1

O enunciado diz: uma escada encostada numa parede forma um ângulo de 30^\circ com a parede vertical. O ponto onde a escada toca a parede está a 6 m do solo. Pede-se determinar o comprimento da escada.
Informações dadas:
\; - ângulo entre escada e parede vertical: \;30^\circ.
\; - altura do ponto de contato sobre a parede (distância ao solo): \;6 m.
\; - objeto a encontrar: comprimento da escada (vamos chamar de L).

Passo 2

Vamos visualizar o triângulo retângulo formado pela parede, pelo chão e pela escada. Os três lados são:
\; - o segmento vertical na parede, de comprimento 6 m (altura onde a escada encosta);
\; - o segmento horizontal no chão (distância da base da parede até o pé da escada);
\; - a própria escada, que é a hipotenusa do triângulo, de comprimento L.
O ângulo de 30^\circ dado no enunciado é o ângulo entre a escada e a parede, ou seja, é o ângulo no vértice superior do triângulo, entre a hipotenusa e o cateto vertical. Assim, para esse ângulo, o cateto adjacente tem comprimento 6 e a hipotenusa tem comprimento L.

Passo 3

Recordando a definição trigonométrica básica num triângulo retângulo: para um ângulo \theta,
\cos(\theta)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}.
Aqui \theta=30^\circ, o cateto adjacente é a altura 6 e a hipotenusa é L. Então podemos usar a relação do cosseno para ligar 6, L e o ângulo.

Passo 4

Aplicando a definição:
\cos(30^\circ)=\frac{6}{L}.
Agora isolamos L:
L=\frac{6}{\cos(30^\circ)}.

Passo 5

Precisamos do valor de \cos(30^\circ). Um modo simples de lembrar: o triângulo especial 30^\circ- 60^\circ- 90^\circ tem razões de lados 1:\sqrt{3}:2, onde a hipotenusa vale 2. Desse triângulo segue que
\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
(Substituir por essa identidade é algo comum e vale a pena decorar para provas.)

Passo 6

Substituindo em L=\dfrac{6}{\cos(30^\circ)}:
L=\frac{6}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\;6\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}.
Racionalizando o denominador (opcional, mas deixa o resultado mais “bonito”):
L=\frac{12}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}.

Passo 7

Interpretação prática: o comprimento exato da escada é \;4\sqrt{3} metros. Se você quiser um valor decimal aproximado, usando \sqrt{3}\approx1,732, temos
L\approx 4\cdot1,732\approx 6,928\\ \text{m}.
Boa! Você usou trigonometria básica (definição de cosseno) e um triângulo especial. Tá indo bem — respira e decora essa relação do triângulo 30^\circ- 60^\circ- 90^\circ, que cai muito em prova.

Resposta

4\sqrt{3}\\ \text{m} (aprox. 6,928\\ \text{m})

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