Resolva as questões abaixo:
b) Uma escada faz um ângulo de
com a parede vertical de um prédio, ao tocar o topo distante 6 m do solo. Determine o comprimento da escada.
b) Uma escada faz um ângulo de
Passo 1
O enunciado diz: uma escada encostada numa parede forma um ângulo de
com a parede vertical. O ponto onde a escada toca a parede está a
m do solo. Pede-se determinar o comprimento da escada.
Informações dadas:
- ângulo entre escada e parede vertical:
.
- altura do ponto de contato sobre a parede (distância ao solo):
m.
- objeto a encontrar: comprimento da escada (vamos chamar de
).
Informações dadas:
Passo 2
Vamos visualizar o triângulo retângulo formado pela parede, pelo chão e pela escada. Os três lados são:
- o segmento vertical na parede, de comprimento
m (altura onde a escada encosta);
- o segmento horizontal no chão (distância da base da parede até o pé da escada);
- a própria escada, que é a hipotenusa do triângulo, de comprimento
.
O ângulo de dado no enunciado é o ângulo entre a escada e a parede, ou seja, é o ângulo no vértice superior do triângulo, entre a hipotenusa e o cateto vertical. Assim, para esse ângulo, o cateto adjacente tem comprimento
e a hipotenusa tem comprimento
.
O ângulo de
Passo 3
Recordando a definição trigonométrica básica num triângulo retângulo: para um ângulo
,
Aqui
, o cateto adjacente é a altura
e a hipotenusa é
. Então podemos usar a relação do cosseno para ligar
,
e o ângulo.
Passo 4
Aplicando a definição:
Agora isolamos
:
Passo 5
Precisamos do valor de
. Um modo simples de lembrar: o triângulo especial
-
-
tem razões de lados
, onde a hipotenusa vale
. Desse triângulo segue que
(Substituir por essa identidade é algo comum e vale a pena decorar para provas.)
Passo 6
Substituindo em
:
Racionalizando o denominador (opcional, mas deixa o resultado mais “bonito”):
Passo 7
Interpretação prática: o comprimento exato da escada é
metros. Se você quiser um valor decimal aproximado, usando
, temos
Boa! Você usou trigonometria básica (definição de cosseno) e um triângulo especial. Tá indo bem — respira e decora essa relação do triângulo
-
-
, que cai muito em prova.