Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 10 litros de gasolina por 100 quilômetros, com desvio padrão de 0,8 litros. Uma revista desconfia que o consumo é maior e resolve testar essa afirmação. Para tal, analisa 35 automóveis dessa marca, obtendo como consumo médio 10,2 litros por 100 quilômetros. Considerando que o consumo siga o modelo normal, o que a revista pode concluir sobre o anúncio da fábrica ao nível de 1 \% ? Qual é o erro de tipo II se a média for 10,6 ?
R. Aceita H_{0} b) \beta(10,6)=0,0192.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com calma):
  • A fábrica afirma que o consumo médio é \,10 litros/100 km.
  • Desvio padrão populacional conhecido: \sigma=0,8 litros.
  • Amostra de tamanho n=35.
  • Média amostral observada: \overline{x}=10,2 litros/100 km.
  • Assumimos modelo normal para o consumo.
  • A revista suspeita que o consumo é maior que o anunciado, então a hipótese alternativa é unilateral à direita.
As hipóteses são, portanto:
H_0:\mu=10
H_1:\mu>10
O nível de significância é \alpha=0{,}01 (1%).
As perguntas:
  1. O que a revista pode concluir ao nível de 1\%? (aceita / rejeita H_0)
  2. Qual é o erro do tipo II \beta se a média verdadeira for \mu=10{,}6?

Passo 2

Qual é o teste adequado e por quê?
Como a variância (desvio padrão) populacional \sigma é conhecida e o modelo é normal, usamos o teste Z para a média. A estatística de teste é a padronização da média amostral:
Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
Onde:
  • \overline{X} é a média amostral (observada \overline{x}=10{,}2),
  • \mu_0 é a média sob H_0 (aqui 10),
  • \sigma/\sqrt{n} é o desvio padrão da média amostral (erro padrão).
Calculemos o erro padrão:
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,8}{\sqrt{35}}.
Agora calculamos numericamente. Primeiro \sqrt{35}\approx 5{,}916, então
\sigma_{\overline{X}}\approx\frac{0,8}{5{,}916}\approx 0{,}1352.

Passo 3

Calcular o valor observado da estatística Z:
Z_{\text{obs}}=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_{\overline{X}}} =\frac{10{,}2-10}{0{,}1352}\approx\frac{0{,}2}{0{,}1352}\approx 1{,}48.
Regra de decisão (teste unilateral à direita): rejeitar H_0 se Z_{\text{obs}}>z_{1-\alpha}, onde z_{1-\alpha} é o quantil da normal padrão. Para \alpha=0{,}01 (uma cauda à direita),
z_{1-\alpha}=z_{0{,}99}\approx 2{,}3263.
Comparando:
Z_{\text{obs}}\approx 1{,}48 < 2{,}3263.
Portanto não há evidência suficiente para rejeitar H_0 ao nível de 1\%. Em linguagem prática: a revista não conseguiu provar, com significância 1\%, que o consumo médio é maior que 10. (Ou, de modo sucinto: aceita H_0 / não rejeita H_0.)

Passo 4

Agora vamos calcular o erro do tipo II \beta quando a média verdadeira for \mu=10{,}6.
Definição: para um teste com região de rejeição baseada em \overline{X}, o erro tipo II em \mu=\mu_1 é a probabilidade de não rejeitar H_0 quando \mu=\mu_1. Aqui a região de rejeição é \{\overline{X}>x_c\}, onde x_c é o valor crítico correspondente a z_{1-\alpha}:
x_c=\mu_0 + z_{1-\alpha}\,\sigma_{\overline{X}}.
Calcule x_c:
x_c=10 + 2{,}3263\cdot 0{,}1352 \approx 10 + 0{,}3144 \approx 10{,}3144.
O erro tipo II para \mu=10{,}6 é
\beta(10{,}6)=P_{\mu=10{,}6}\big(\overline{X}\le x_c\big).
Padronizando pela distribuição de \overline{X} quando \mu=10{,}6 (média \,10{,}6, mesmo erro padrão \sigma_{\overline{X}}):
\beta(10{,}6)=P\!\left(\frac{\overline{X}-10{,}6}{\sigma_{\overline{X}}}\le\frac{x_c-10{,}6}{\sigma_{\overline{X}}}\right) = \Phi\!\left(\frac{x_c-10{,}6}{\sigma_{\overline{X}}}\right),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão.
Calculamos o argumento:
\frac{x_c-10{,}6}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{10{,}3144-10{,}6}{0{,}1352}=\frac{-0{,}2856}{0{,}1352}\approx -2{,}11.
Logo
\beta(10{,}6)\approx \Phi(-2{,}11)\approx 0{,}0174.
(Usando tabela ou calculadora da normal padrão, \Phi(-2{,}11) dá aproximadamente 0{,}0174, isto é cerca de 1{,}74\%.)

Passo 5

Interpretação final e ânimo: a amostra de 35 carros com média 10{,}2 não foi suficiente para convencer, ao nível de 1\%, que o consumo médio é maior que 10. Se, na verdade, a média fosse 10{,}6, a chance de o teste não detectar isso (erro tipo II) é muito pequena, cerca de 1{,}7\% — o que indica que o teste é sensível a um aumento real de 0{,}6 litros/100 km.
Força: é justamente este tipo de cálculo que se pede em provas — saber montar as hipóteses, calcular a estatística, comparar com o quantil e, se solicitado, computar \beta para um \mu alternativo. Vai dar certo!

Resposta

Aceita H_{0}
\beta(10,6)\approx 0,0174

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