Questão: Determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(1,5 \mathrm{pt}) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \left(\frac{n \pi}{3}\right)}{n!}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)}{n!}
converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. As informações dadas são apenas os termos gerais da série: para cada n o termo é \dfrac{\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)}{n!}. Não há outras condições ou parâmetros.

Passo 2

Vou lembrar o que significa cada tipo de convergência (explicando bem devagar, passo a passo).
  • A série \sum a_n converge absolutamente se a série das normas dos termos \sum |a_n| converge.
  • A série converge condicionalmente se \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge.
  • A série diverge se \sum a_n não converge (ou seja, não há soma finita).
Aqui a_n=\dfrac{\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)}{n!}. Vou testar a convergência absoluta, ou seja, estudar \sum |a_n|=\sum \dfrac{\left|\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)\right|}{n!}.

Passo 3

Usarei uma desigualdade simples e muito útil: para todo real x vale |\cos x|\le 1. Aplicando isso aos nossos termos, para todo n temos
\left|\frac{\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)}{n!}\right| = \frac{\left|\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)\right|}{n!} \le \frac{1}{n!}.
Ou seja, os termos em módulo estão majorados por \dfrac{1}{n!}.

Passo 4

Agora preciso saber se \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!} converge. Isso é um fato padrão, mas vou demonstrar com o Teste da razão (que é simples e adequado aqui).
Considere b_n=\dfrac{1}{n!}. Calculo a razão
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{1/(n+1)!}{1/n!}=\frac{1}{n+1}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0<1, pelo Teste da razão a série \sum b_n=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!} converge. (De fato ela converge para e-1, mas não preciso do valor exato, só da convergência.)

Passo 5

Agora aplico o Teste da comparação direta (versão para séries de termos não-negativos): como para todo n vale
0\le \frac{\left|\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)\right|}{n!}\le \frac{1}{n!},
e já mostrei que \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!} converge, segue que a série \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\left|\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)\right|}{n!} também converge. Portanto a série original converge absolutamente. Lembre-se: convergência absoluta implica convergência (então não é condicional).

Resposta

Converge absolutamente.

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