Questão: Determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. (1,5 \mathrm{pt}) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \left(\frac{n \pi}{3}\right)}{n!}
converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. As informações dadas são apenas os termos gerais da série: para cada n o termo é \dfrac{\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)}{n!}. Não há outras condições ou parâmetros.
Passo 2
Vou lembrar o que significa cada tipo de convergência (explicando bem devagar, passo a passo).
A série \sum a_n converge absolutamente se a série das normas dos termos \sum |a_n| converge.
A série converge condicionalmente se \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge.
A série diverge se \sum a_n não converge (ou seja, não há soma finita).
Aqui a_n=\dfrac{\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)}{n!}. Vou testar a convergência absoluta, ou seja, estudar \sum |a_n|=\sum \dfrac{\left|\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)\right|}{n!}.
Passo 3
Usarei uma desigualdade simples e muito útil: para todo real x vale |\cos x|\le 1. Aplicando isso aos nossos termos, para todo n temos
Ou seja, os termos em módulo estão majorados por \dfrac{1}{n!}.
Passo 4
Agora preciso saber se \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!} converge. Isso é um fato padrão, mas vou demonstrar com o Teste da razão (que é simples e adequado aqui).
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0<1, pelo Teste da razão a série \sum b_n=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!} converge. (De fato ela converge para e-1, mas não preciso do valor exato, só da convergência.)
Passo 5
Agora aplico o Teste da comparação direta (versão para séries de termos não-negativos): como para todo n vale
e já mostrei que \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!} converge, segue que a série \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\left|\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)\right|}{n!} também converge. Portanto a série original converge absolutamente. Lembre-se: convergência absoluta implica convergência (então não é condicional).