Com respeito aos 23 alunos de uma turma de Estatística Econômica, foram observadas as variáveis número de faltas e nota final da disciplina. Esses dados acusaram a seguinte correlação, descrita pelo coeficiente de Pearson:
. Comente as seguintes frases relativas à turma em estudo e ao coeficiente obtido.
a) “Como
(correlação negativa moderada), nenhum aluno com grande número de faltas tirou nota alta.”
b) “Como as duas variáveis são correlacionadas, bastaria usar uma delas como critério de avaliação, pois uma acarreta a outra.”
c) “Os dados observados mostraram uma leve tendência de que a nota final se relaciona inversamente com o número de faltas, ou seja, os alunos frequentadores tiveram, em geral, melhor desempenho nas avaliações do que os alunos que faltaram muito.”
a) “Como
b) “Como as duas variáveis são correlacionadas, bastaria usar uma delas como critério de avaliação, pois uma acarreta a outra.”
c) “Os dados observados mostraram uma leve tendência de que a nota final se relaciona inversamente com o número de faltas, ou seja, os alunos frequentadores tiveram, em geral, melhor desempenho nas avaliações do que os alunos que faltaram muito.”
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados fornecidos: turma com
alunos e coeficiente de correlação de Pearson entre número de faltas e nota final igual a . - O que precisa ser feito: comentar as três frases (a), (b) e (c) em relação aos dados e ao coeficiente obtido. Cada frase deve ser avaliada: está correta? quais são as limitações/implicações?
Passo 2
O que significa, em termos práticos, um coeficiente de Pearson
?
- Definição (fórmula compacta): a correlação de Pearson mede associação linear entre duas variáveis. Uma das formas de escrever é
- Aqui
e são as observações das duas variáveis (faltas e nota), e são as médias, e é o número de pares observados. - Intervalo e sinal:
-
varia entre e . - Sinal negativo indica que, em média, quando uma variável aumenta a outra tende a diminuir (associação inversa).
-
- Magnitude:
- Valores próximos de
indicam pouca ou nenhuma associação linear. - Valores próximos de
indicam associação linear muito forte. - Convenção prática (apenas orientativa):
fraca, moderada, forte.
- Valores próximos de
- Aplicando ao caso:
indica uma associação linear negativa de intensidade moderada — ou seja, em média mais faltas estão associadas a notas mais baixas, de forma moderada.
Passo 3
O que a magnitude numérica implica em termos de variabilidade explicada
- Cálculo da proporção de variância explicada (coeficiente de determinação):
- Interpretação: aproximadamente
da variação observada nas notas pode ser explicada, linearmente, pela variação no número de faltas. O restante, cerca de , é devido a outras fontes (outros fatores, variabilidade individual, erro, relação não linear etc.). Isso mostra que a relação é relevante, mas longe de ser determinística.
Passo 4
Significância estatística (se quiser afirmar que a associação não é só acaso)
- Teste básico para
usa a estatística
com
graus de liberdade.
- Substituindo
e : -
. -
. -
. - Portanto
.
-
- Com
graus de liberdade, é maior que o valor crítico aproximado (nível , bilateral), logo a correlação é estatisticamente significativa ao nível de . Isso quer dizer que, com esses dados, é razoável concluir que existe associação linear negativa na população (não é apenas ruído amostral).
Passo 5
Limitações importantes do coeficiente de Pearson — pontos que vou usar para comentar as frases
- Mede só associação linear; relações não lineares podem passar despercebidas.
- Não dá informação sobre causalidade: correlação não implica que faltas “causam” notas ou vice‑versa.
- Não exclui exceções individuais: mesmo com
podem existir alunos com muitas faltas e notas altas (outliers). - Proporção de variância explicada (
) mostra poder preditivo: aqui é só cerca de , então previsão individual a partir de faltas seria bastante imprecisa.
Passo 6
Comentando a frase (a):
- Frase (a): “Como
(correlação negativa moderada), nenhum aluno com grande número de faltas tirou nota alta.” - Avaliação: a frase está incorreta.
- Por quê (explicação didática): um
negativo e moderado indica tendência geral, não uma regra absoluta. O único valor que impediria totalmente que um aluno com muitas faltas tirasse nota alta seria (correlação linear perfeita negativa), o que fixaria a relação. Com a associação é parcial: há tendência, mas sobra muita variação individual (veja ). Logo é perfeitamente possível existirem alunos com muitas faltas e notas altas — o coeficiente não exclui exceções. Conclusão: a assertiva que diz “nenhum” é demasiado categórica e falsa.
Passo 7
Comentando a frase (b):
- Frase (b): “Como as duas variáveis são correlacionadas, bastaria usar uma delas como critério de avaliação, pois uma acarreta a outra.”
- Avaliação: a frase está incorreta.
- Por quê (explicação didática e prática):
- Correlação não implica causalidade; a presença de correlação não prova que uma variável “acarreta” a outra.
- Mesmo para previsão prática: com
apenas ~31% da variação das notas é explicada pelas faltas — usar apenas faltas como critério de avaliação resultaria em previsões/decisões bastante imprecisas e injustas para muitos alunos. - Além disso, critérios de avaliação pedagógicos exigem validade (medir diretamente o aprendizado), e número de faltas pode não ser substituto adequado da nota.
- Portanto não se pode afirmar que “bastaria usar uma delas” nem que “uma acarreta a outra”.
Passo 8
Comentando a frase (c):
- Frase (c): “Os dados observados mostraram uma leve tendência de que a nota final se relaciona inversamente com o número de faltas, ou seja, os alunos frequentadores tiveram, em geral, melhor desempenho nas avaliações do que os alunos que faltaram muito.”
- Avaliação: a frase está essencialmente correta quanto à direção da associação e ao sentido prático, mas a palavra “leve” subestima a intensidade observada.
- Por quê (explicação didática):
- Direção: o sinal negativo
indica claramente tendência inversa — mais faltas, em média, notas menores — então a parte “os alunos frequentadores tiveram, em geral, melhor desempenho” é compatível com os dados. - Intensidade:
é tipicamente classificado como uma correlação moderada, não “leve”. Além disso a correlação é estatisticamente significativa com . - Formulação mais precisa para a prova: “Há uma tendência moderada e estatisticamente significativa de que a nota diminui com o aumento do número de faltas; porém existe variação individual substancial (nem todos seguem a tendência).” Isso é mais fiel ao valor
e ao .
- Direção: o sinal negativo
- Conclusão: a frase (c) é correta quanto ao sentido, mas sugiro substituir “leve” por “moderada” e acrescentar a ressalva sobre variação individual.
Passo 9
O que eu escreveria na prova (curto e direto)
- (a) Incorreta — correlação moderada negativa não impede exceções individuais.
- (b) Incorreta — correlação não implica causalidade e
revela predição limitada. - (c) Correta em sentido: há tendência inversa; preferir dizer “tendência moderada e estatisticamente significativa” e mencionar que muita variação individual permanece.
Resposta
a) Incorreta.
b) Incorreta.
c) Correta (mas a tendência é moderada e estatisticamente significativa; “leve” subestima a intensidade).
b) Incorreta.
c) Correta (mas a tendência é moderada e estatisticamente significativa; “leve” subestima a intensidade).