Uma empresa não pode produzir mais que 5 \% de unidades defeituosas de um artigo num mesmo lote. Seja p a proporção de unidades defeituosas em um certo lote e suponha que, nesse lote, 100 artigos são sorteados para serem inspecionados. Responda as seguintes questões:
(a) Qual o parâmetro que se deseja testar?
(b) Qual é o estimador a ser utilizado e sua distribuição.
(c) Indique-se as hipóteses a serem testadas interprete-as.
(d) Determine o critério de decisão com nível de significância de 5 \%.
(e) Com o critério obtido, calcule a probabilidade de aceitar um lote com 7 \% de defeituosos.
(f) Se forem observadas 10 unidades defeituosas, qual é o nível descritivo?
R. c) H_{0}: p=0,05 contra H_{1}: p>0,05
d) R C=\{x \in \mathbb{R}: x>0,086\},
e) $0,7357, \mathrm{f}) 0,011.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que cada item (a)–(f) pede.
  • Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
    • A empresa exige que a proporção de defeituosos não seja maior que 5\%.
    • Seja p a proporção verdadeira de unidades defeituosas no lote (parâmetro desconhecido).
    • Amostra: n=100 unidades inspecionadas (sorteadas) do lote.
  • Perguntas a responder:
    (a) Qual o parâmetro que se deseja testar?
    (b) Qual é o estimador a ser utilizado e qual sua distribuição?
    (c) Indicar as hipóteses a serem testadas e interpretá-las.
    (d) Determinar o critério de decisão com nível de significância 5\%.
    (e) Com o critério obtido, calcular a probabilidade de aceitar um lote cuja verdadeira proporção é 7\%.
    (f) Se forem observadas 10 unidades defeituosas, qual é o nível descritivo (p-valor)?

Passo 2

(a) Parâmetro a ser testado.
  • O parâmetro é a proporção populacional de defeituosos no lote, isto é \;p\;.
Comentário curto e amigo: é exatamente isso que queremos saber se está acima do limite aceitável 5\%.

Passo 3

(b) Estimador e sua distribuição.
  • Seja X o número de unidades defeituosas na amostra de n=100. Então X \sim \mathrm{Binomial}(n=100,\;p).
  • O estimador natural para p é a proporção amostral \hat p = \frac{X}{n}.
  • Distribuição exata: \hat p tem distribuição binomial escalada (obtida de X). Ou seja, P(\hat p = k/100)=\binom{100}{k}p^{k}(1-p)^{100-k} para k=0,\dots,100.
  • Aproximação prática (usada em testes): para n grande, \hat p é aproximadamente normal: \hat p \approx N\!\left(p,\; \frac{p(1-p)}{n}\right).Aqui p é a média e \dfrac{p(1-p)}{n} é a variância da \hat p.
Dica: na prova costuma-se usar a aproximação normal quando n é grande (aqui n=100 é típico), porque facilita cálculos.

Passo 4

(c) Hipóteses a testar e interpretação.
  • Como a empresa proíbe proporção maior que 5\%, o teste é unilateral à direita. Escrevemos: H_0:\; p = 0{,}05 \qquad\text{versus}\qquad H_1:\; p > 0{,}05.
  • Interpretação:
    • H_0 (hipótese nula): o lote está dentro do padrão aceitável (a proporção real de defeituosos é 5\%).
    • H_1 (alternativa): o lote tem mais defeituosos que o permitido (isto é, o lote deve ser rejeitado).
Empatia: estamos testando se há evidência suficiente para dizer que o lote é ruim (mais de 5\% defeituosos).

Passo 5

(d) Critério de decisão com nível de significância \alpha=0{,}05.
  • Usamos o estatístico Z baseado em \hat p sob H_0: Z = \frac{\hat p - 0{,}05}{\sqrt{\dfrac{0{,}05\cdot 0{,}95}{100}}}.Explicando: sob H_0 temos \hat p\approx N(0{,}05,\;0{,}05\cdot0{,}95/100). O Z padroniza subtraindo a média e dividindo pelo desvio-padrão.
  • Para teste unilateral à direita com \alpha=0{,}05 o valor crítico da Normal padrão é z_{0{,}95}=1{,}645. Rejeitamos H_0 se Z>1{,}645.
  • Convertendo para \hat p: \hat p > 0{,}05 + 1{,}645\sqrt{\frac{0{,}05\cdot0{,}95}{100}}.
  • Calculemos o desvio-padrão sob H_0: \sqrt{\frac{0{,}05\cdot0{,}95}{100}}=\sqrt{0{,}000475}\approx 0{,}0217945.Multiplicando por 1{,}645: 1{,}645\cdot0{,}0217945\approx 0{,}03586.Assim o limite para \hat p é aproximadamente 0{,}05 + 0{,}03586 \approx 0{,}08586 \approx 0{,}086.
  • Portanto o região de rejeição em termos de \hat p é RC=\{\hat p:\; \hat p>0{,}08586\},que, em termos do número de defeituosos X=100\hat p, equivale a RC=\{X:\; X\ge 9\},pois X>8{,}586 implica X\ge9 (valores inteiros).
Resumo prático para a prova: rejeitar o lote se forem encontrados pelo menos 9 unidades defeituosas na amostra de 100.

Passo 6

(e) Probabilidade de aceitar um lote com p=0{,}07 aplicando o critério obtido.
  • Aceitar = não rejeitar H_0 = \hat p \le 0{,}08586. Sob a hipótese verdadeira p=0{,}07, \hat p é aproximadamente normal: \hat p \approx N\!\left(0{,}07,\; \frac{0{,}07\cdot0{,}93}{100}\right).
  • Calcule o desvio-padrão sob p=0{,}07: \sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{0{,}07\cdot0{,}93}{100}}=\sqrt{0{,}000651}=0{,}025518\\ (\text{aprox.}).
  • A probabilidade de aceitar o lote (ou seja P(\hat p\le 0{,}08586) quando p=0{,}07) é P\!\left(\hat p\le 0{,}08586\right)= \Phi\!\left(\frac{0{,}08586-0{,}07}{0{,}025518}\right),onde \Phi é a função de distribuição da Normal padrão.
  • Calculemos o valor do z: z=\frac{0{,}08586-0{,}07}{0{,}025518}\approx \frac{0{,}01586}{0{,}025518}\approx 0{,}6219.
  • Usando a tabela da Normal padrão, \Phi(0{,}6219)\approx 0{,}7357 (valor aproximado; arredondamentos levam a leves diferenças).
  • Conclusão: P(\text{aceitar}|p=0{,}07)\approx 0{,}7357.
Interpretação amiga: se a verdadeira taxa for 7\%, com este teste você aceita o lote cerca de 73{,}6\% das vezes — há muita chance de aceitar um lote levemente ruim.

Passo 7

(f) Nível descritivo (p-valor) quando são observadas 10 unidades defeituosas.
  • Observação: X_{\text{obs}}=10 então \hat p_{\text{obs}}=10/100=0{,}10.
  • p-valor (teste unilateral à direita) é a probabilidade, sob H_0 ( p=0{,}05), de observar uma proporção tão extrema ou mais extrema que a observada: \text{p-valor}=P_{H_0}\big(\hat p \ge 0{,}10\big)=P_{H_0}\big(Z \ge z_{\text{obs}}\big),onde z_{\text{obs}}=\frac{0{,}10-0{,}05}{\sqrt{\dfrac{0{,}05\cdot0{,}95}{100}}}.
  • Já calculamos o denominador em

Passo 8

z_{\text{obs}}=\frac{0{,}05}{0{,}0217945}\approx 2{,}294.
  • p-valor: \text{p-valor}=1-\Phi(2{,}294)\approx 0{,}0109\approx 0{,}011.
  • Interpretação: com p-valor \approx 0{,}011 (cerca de 1{,}1\%), há evidência significativa contra H_0 ao nível \alpha=0{,}05. Ou seja, observar 10 defeituosos é raro se a verdadeira taxa fosse 5\%, então rejeitaríamos H_0.

Resposta

(a) p
(b) \hat p=\dfrac{X}{100}, com X\sim\mathrm{Binomial}(100,p). Para n grande, \hat p\approx N\!\left(p,\dfrac{p(1-p)}{100}\right).
(c) H_{0}:\; p=0{,}05 contra H_{1}:\; p>0{,}05.
(d) Rejeitar H_0 se
\displaystyle \hat p>0{,}05+1{,}645\sqrt{\dfrac{0{,}05\cdot0{,}95}{100}}\approx 0{,}08586
(ou equivalentemente rejeitar se X\ge 9).\
(e) P(\text{aceitar}\mid p=0{,}07)\approx 0{,}7357.\
(f) p-valor para X=10: \approx 0{,}011.

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