Uma empresa não pode produzir mais que
de unidades defeituosas de um artigo num mesmo lote. Seja
a proporção de unidades defeituosas em um certo lote e suponha que, nesse lote, 100 artigos são sorteados para serem inspecionados. Responda as seguintes questões:
(a) Qual o parâmetro que se deseja testar?
(b) Qual é o estimador a ser utilizado e sua distribuição.
(c) Indique-se as hipóteses a serem testadas interprete-as.
(d) Determine o critério de decisão com nível de significância de
.
(e) Com o critério obtido, calcule a probabilidade de aceitar um lote com
de defeituosos.
(f) Se forem observadas 10 unidades defeituosas, qual é o nível descritivo?
R. c)
contra
d)
,
e) $0,7357, \mathrm{f}) 0,011.
(a) Qual o parâmetro que se deseja testar?
(b) Qual é o estimador a ser utilizado e sua distribuição.
(c) Indique-se as hipóteses a serem testadas interprete-as.
(d) Determine o critério de decisão com nível de significância de
(e) Com o critério obtido, calcule a probabilidade de aceitar um lote com
(f) Se forem observadas 10 unidades defeituosas, qual é o nível descritivo?
R. c)
d)
e) $0,7357, \mathrm{f}) 0,011.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que cada item (a)–(f) pede.
- Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- A empresa exige que a proporção de defeituosos não seja maior que
. - Seja
a proporção verdadeira de unidades defeituosas no lote (parâmetro desconhecido). - Amostra:
unidades inspecionadas (sorteadas) do lote.
- A empresa exige que a proporção de defeituosos não seja maior que
- Perguntas a responder:
(a) Qual o parâmetro que se deseja testar?
(b) Qual é o estimador a ser utilizado e qual sua distribuição?
(c) Indicar as hipóteses a serem testadas e interpretá-las.
(d) Determinar o critério de decisão com nível de significância.
(e) Com o critério obtido, calcular a probabilidade de aceitar um lote cuja verdadeira proporção é.
(f) Se forem observadas 10 unidades defeituosas, qual é o nível descritivo (p-valor)?
Passo 2
(a) Parâmetro a ser testado.
- O parâmetro é a proporção populacional de defeituosos no lote, isto é
Comentário curto e amigo: é exatamente isso que queremos saber se está acima do limite aceitável
.
Passo 3
(b) Estimador e sua distribuição.
- Seja
o número de unidades defeituosas na amostra de . Então - O estimador natural para
é a proporção amostral - Distribuição exata:
tem distribuição binomial escalada (obtida de ). Ou seja, para . - Aproximação prática (usada em testes): para
grande, é aproximadamente normal: Aqui é a média e é a variância da .
Dica: na prova costuma-se usar a aproximação normal quando
é grande (aqui
é típico), porque facilita cálculos.
Passo 4
(c) Hipóteses a testar e interpretação.
- Como a empresa proíbe proporção maior que
, o teste é unilateral à direita. Escrevemos: - Interpretação:
-
(hipótese nula): o lote está dentro do padrão aceitável (a proporção real de defeituosos é ). -
(alternativa): o lote tem mais defeituosos que o permitido (isto é, o lote deve ser rejeitado).
-
Empatia: estamos testando se há evidência suficiente para dizer que o lote é ruim (mais de
defeituosos).
Passo 5
(d) Critério de decisão com nível de significância
.
- Usamos o estatístico
baseado em sob : Explicando: sob temos . O padroniza subtraindo a média e dividindo pelo desvio-padrão. - Para teste unilateral à direita com
o valor crítico da Normal padrão é . Rejeitamos se . - Convertendo para
: - Calculemos o desvio-padrão sob
: Multiplicando por : Assim o limite para é aproximadamente - Portanto o região de rejeição em termos de
é que, em termos do número de defeituosos , equivale a pois implica (valores inteiros).
Resumo prático para a prova: rejeitar o lote se forem encontrados pelo menos
unidades defeituosas na amostra de
.
Passo 6
(e) Probabilidade de aceitar um lote com
aplicando o critério obtido.
- Aceitar = não rejeitar
= . Sob a hipótese verdadeira , é aproximadamente normal: - Calcule o desvio-padrão sob
: - A probabilidade de aceitar o lote (ou seja
quando ) é onde é a função de distribuição da Normal padrão. - Calculemos o valor do
: - Usando a tabela da Normal padrão,
(valor aproximado; arredondamentos levam a leves diferenças). - Conclusão:
Interpretação amiga: se a verdadeira taxa for
, com este teste você aceita o lote cerca de
das vezes — há muita chance de aceitar um lote levemente ruim.
Passo 7
(f) Nível descritivo (p-valor) quando são observadas 10 unidades defeituosas.
- Observação:
então . - p-valor (teste unilateral à direita) é a probabilidade, sob
( ), de observar uma proporção tão extrema ou mais extrema que a observada: onde - Já calculamos o denominador em
Passo 8
- p-valor:
- Interpretação: com p-valor
(cerca de ), há evidência significativa contra ao nível . Ou seja, observar 10 defeituosos é raro se a verdadeira taxa fosse , então rejeitaríamos .
Resposta
(a)
(b)
, com
. Para
grande,
.
(c)
contra
.
(d) Rejeitar
se
(ou equivalentemente rejeitar se ).\
(ou equivalentemente rejeitar se
(e)
.\
(f) p-valor para
:
.