Suponha que
dos funcionários de uma empresa sejam homens. Colhemos uma amostra aleatória de
funcionários e calculamos
proporção de funcionários homens na amostra. Qual a probabilidade de que
difira de
em menos de 0,03 ?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Proporção verdadeira de homens na empresa:
. - Tamanho da amostra:
. - Na amostra definimos
como a proporção de homens na amostra. - Pergunta: qual é a probabilidade de que
difira de em menos de , ou seja, ?
Passo 2
Modelagem do problema com variável discreta (explicação didática).
- Seja
o número de homens observados na amostra de . Então . - Em amostragem aleatória com cada indivíduo tendo probabilidade
de ser homem, segue a distribuição binomial:
ou seja, para
,
Explicando as peças:
é o número de maneiras de escolher
sucessos em
,
é a probabilidade dos
sucessos ocorrerem, e
é a probabilidade dos
fracassos ocorrerem.
Passo 3
Traduzir o evento em termos de
.
Multiplicando a desigualdade por
(positivo) obtemos
Calculemos os limites numéricos:
Portanto o evento é
. Como
só pode assumir valores inteiros, os únicos inteiros estritamente entre
e
são
. Logo o evento
é equivalente a
.
Observação didática rápida sobre estrita vs. não estrita: o enunciado pediu "difere … em menos de
" — isso é desigualdade estrita “<”, por isso usamos
. Se tivesse sido "no máximo
" usaríamos “
” e então incluiríamos possíveis pontos finais.
Passo 4
Calcular
usando a fórmula binomial.
Calculemos cada pedaço com calma:
-
-
- Vamos calcular
passo a passo (multiplicações sucessivas):
Arredondando o último valor para uma precisão prática, temos
.
Passo 5
Multiplicação final (mostrando cada passo).
Primeiro
.
Agora .
Arredondando de forma razoável: , ou seja cerca de
.
Agora
Arredondando de forma razoável:
Passo 6
Interpretação curta e encorajamento.
- Resultado: a chance de a proporção amostral
ficar a menos de de é aproximadamente , isto é, cerca de . - Comentário: com
pequeno, a probabilidade não é muito alta — se quiser maior confiança é preciso aumentar . Vai dar certo, foco nos exercícios!