Suponha que p=18 \% dos funcionários de uma empresa sejam homens. Colhemos uma amostra aleatória de n=10 funcionários e calculamos \hat{p}= proporção de funcionários homens na amostra. Qual a probabilidade de que \hat{p} difira de p em menos de 0,03 ?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Proporção verdadeira de homens na empresa: p=0,18.
  • Tamanho da amostra: n=10.
  • Na amostra definimos \hat{p} como a proporção de homens na amostra.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que \hat{p} difira de p em menos de 0,03, ou seja, \Pr\bigl(|\hat{p}-p|<0,03\bigr)?

Passo 2

Modelagem do problema com variável discreta (explicação didática).
  • Seja X o número de homens observados na amostra de n=10. Então \hat{p}=X/n.
  • Em amostragem aleatória com cada indivíduo tendo probabilidade p de ser homem, X segue a distribuição binomial:
X\sim\operatorname{Bin}(n,p),
ou seja, para k=0,1,\dots,n,
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicando as peças: \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k sucessos em n, p^{k} é a probabilidade dos k sucessos ocorrerem, e (1-p)^{n-k} é a probabilidade dos n-k fracassos ocorrerem.

Passo 3

Traduzir o evento em termos de X.
\Pr\bigl(|\hat{p}-p|<0,03\bigr) =\Pr\bigl(|X/n - p|<0,03\bigr).
Multiplicando a desigualdade por n (positivo) obtemos
\Pr\bigl(n(p-0,03)<X<n(p+0,03)\bigr).
Calculemos os limites numéricos:
n(p-0,03)=10(0,18-0,03)=10\cdot0,15=1,5,
n(p+0,03)=10(0,18+0,03)=10\cdot0,21=2,1.
Portanto o evento é 1,5<X<2,1. Como X só pode assumir valores inteiros, os únicos inteiros estritamente entre 1{,}5 e 2{,}1 são X=2. Logo o evento |\hat p-p|<0,03 é equivalente a X=2.
Observação didática rápida sobre estrita vs. não estrita: o enunciado pediu "difere … em menos de 0,03" — isso é desigualdade estrita “<”, por isso usamos 1{,}5<X<2{,}1. Se tivesse sido "no máximo 0,03" usaríamos “ \le” e então incluiríamos possíveis pontos finais.

Passo 4

Calcular \Pr(X=2) usando a fórmula binomial.
\Pr(X=2)=\binom{10}{2}\,p^{2}\,(1-p)^{8}.
Calculemos cada pedaço com calma:
  • \displaystyle \binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2\cdot1}=45.
  • \displaystyle p^{2}=0,18^{2}=0,0324.
  • Vamos calcular (1-p)^{8}=0,82^{8} passo a passo (multiplicações sucessivas):
0,82^{2}=0,6724,
0,82^{3}=0,6724\cdot0,82=0,551368,
0,82^{4}=0,551368\cdot0,82=0,45212176,
0,82^{5}=0,45212176\cdot0,82=0,3707398432,
0,82^{6}=0,3707398432\cdot0,82=0,304006671424,
0,82^{7}=0,304006671424\cdot0,82=0,24928547056768,
0,82^{8}=0,24928547056768\cdot0,82=0,2044140858654976.
Arredondando o último valor para uma precisão prática, temos 0,82^{8}\approx0,2044140859.

Passo 5

Multiplicação final (mostrando cada passo).
\Pr(X=2)=45\cdot0,0324\cdot0,2044140858654976.
Primeiro 45\cdot0,0324=1,458.
Agora 1,458\cdot0,2044140858654976\approx0,2980357371918955.
Arredondando de forma razoável: \Pr(X=2)\approx0,2980, ou seja cerca de 29,80\%.

Passo 6

Interpretação curta e encorajamento.
  • Resultado: a chance de a proporção amostral \hat{p} ficar a menos de 0,03 de p é aproximadamente 0,298, isto é, cerca de 29{,}8\%.
  • Comentário: com n=10 pequeno, a probabilidade não é muito alta — se quiser maior confiança é preciso aumentar n. Vai dar certo, foco nos exercícios!

Resposta

0,2980357372 (aprox. 29{,}80\%)

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