(Questão 9 - Seção 5.5 - Magalhães) Considere que X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} são variáveis aleatórias independentes com X_{j} \sim \operatorname{Normal}\left(\mu_{j}, \sigma_{j}{ }^{2}\right), j=1,2, \ldots, n. Com o uso de funções características, obtenha a distribuição da soma X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informações dadas:
    • Temos n variáveis aleatórias independentes X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}.
    • Para cada j=1,2,\ldots,n vale X_{j}\sim \operatorname{Normal}\bigl(\mu_{j},\sigma_{j}^{2}\bigr). Ou seja, cada X_{j} tem média \mu_{j} e variância \sigma_{j}^{2}.
    • O enunciado pede explicitamente: “com o uso de funções características, obtenha a distribuição da soma X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}.”
  • O que precisamos encontrar:
    • A distribuição (tipo e parâmetros) da soma
    S_n = X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}.

Passo 2

Vou introduzir a ferramenta que o enunciado pede: a função característica. Não se assuste — é só uma expectativa complexa com propriedades muito úteis.
  • Definição: Para uma variável aleatória Y, a função característica \phi_{Y}(t) é
\phi_{Y}(t)=\mathbb{E}\bigl[e^{i t Y}\bigr],
onde i é a unidade imaginária e t\in\mathbb{R}.
  • Propriedade essencial (que vamos usar): se Y e Z são independentes, então a característica da soma é o produto das características:
\phi_{Y+Z}(t)=\mathbb{E}\bigl[e^{it(Y+Z)}\bigr] =\mathbb{E}\bigl[e^{itY}e^{itZ}\bigr] =\mathbb{E}\bigl[e^{itY}\bigr]\:\mathbb{E}\bigl[e^{itZ}\bigr] =\phi_{Y}(t)\,\phi_{Z}(t).
Essa propriedade generaliza: para variáveis independentes X_{1},\dots,X_{n},
\phi_{S_n}(t)=\prod_{j=1}^{n}\phi_{X_j}(t).
Vou aplicar isso ao nosso caso. Primeiro preciso da fórmula da função característica de uma normal qualquer X_j. No próximo passo eu mostro como obter essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Cálculo da função característica de X_j\sim\operatorname{Normal}\bigl(\mu_{j},\sigma_{j}^{2}\bigr).
  • Definição por integral: a densidade de X_j é
f_{X_j}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_j}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu_j)^{2}}{2\sigma_j^{2}}\right).
Logo
\phi_{X_j}(t)=\mathbb{E}\bigl[e^{itX_j}\bigr]=\int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\,f_{X_j}(x)\,dx.
  • Faço a integral trocando a variável para centralizar na média: defina y=x-\mu_j. Então x=y+\mu_j e dx=dy. A integral vira
\phi_{X_j}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{it(y+\mu_j)}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_j}\exp\!\left(-\frac{y^{2}}{2\sigma_j^{2}}\right)\,dy.
Separe a parte que depende de \mu_j:
\phi_{X_j}(t)=e^{i\mu_j t}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_j}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\left(it y -\frac{y^{2}}{2\sigma_j^{2}}\right)\,dy.
  • Agora vamos lidar com o integrando complexo. Escrevemos o expoente como soma e completamos o quadrado:
it y -\frac{y^{2}}{2\sigma_j^{2}} = -\frac{1}{2\sigma_j^{2}}\Bigl(y^{2}-2i\sigma_j^{2} t\,y\Bigr).
Completar o quadrado dentro do parêntese:
y^{2}-2i\sigma_j^{2} t\,y = \bigl(y - i\sigma_j^{2} t\bigr)^{2} - \bigl(i\sigma_j^{2} t\bigr)^{2}.
Portanto
it y -\frac{y^{2}}{2\sigma_j^{2}} = -\frac{\bigl(y - i\sigma_j^{2} t\bigr)^{2}}{2\sigma_j^{2}} + \frac{\bigl(i\sigma_j^{2} t\bigr)^{2}}{2\sigma_j^{2}}.
Observe que
\frac{\bigl(i\sigma_j^{2} t\bigr)^{2}}{2\sigma_j^{2}} = \frac{-\sigma_j^{4} t^{2}}{2\sigma_j^{2}} = -\frac{1}{2}\sigma_j^{2} t^{2}.
  • Substituindo na integral:
\phi_{X_j}(t)=e^{i\mu_j t}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_j}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\left(-\frac{\bigl(y - i\sigma_j^{2} t\bigr)^{2}}{2\sigma_j^{2}}\right)\exp\!\left(-\tfrac{1}{2}\sigma_j^{2} t^{2}\right)\,dy.
O fator \exp\!\left(-\tfrac{1}{2}\sigma_j^{2} t^{2}\right) é independente de y, então sai da integral:
\phi_{X_j}(t)=e^{i\mu_j t}\,e^{-\tfrac{1}{2}\sigma_j^{2} t^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_j}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\left(-\frac{\bigl(y - i\sigma_j^{2} t\bigr)^{2}}{2\sigma_j^{2}}\right)\,dy.
  • A integral é a integral de uma gaussiana padrão deslocada no plano complexo. Pelo teorema de integração analítica (ou mudando contorno), esse deslocamento não altera o valor da integral gaussiana: a integral vale \sqrt{2\pi}\,\sigma_j. Assim o fator de normalização cancela e obtemos
\phi_{X_j}(t)=\exp\!\left(i\mu_j t -\tfrac{1}{2}\sigma_j^{2} t^{2}\right).
  • Observação prática: para a normal padrão \mathcal{N}(0,1) a característica é \exp(-t^{2}/2). A média \mu_j introduz o fator de fase e^{i\mu_j t} e a variância escala o termo quadrático no expoente.

Passo 4

Função característica da soma e identificação da distribuição.
  • Como as X_j são independentes, pela propriedade do produto das características temos
\phi_{S_n}(t)=\prod_{j=1}^{n}\phi_{X_j}(t) =\prod_{j=1}^{n}\exp\!\left(i\mu_j t -\tfrac{1}{2}\sigma_j^{2} t^{2}\right).
  • Produto de exponenciais é exponencial da soma dos expoentes, logo
\phi_{S_n}(t)=\exp\!\left(i t\sum_{j=1}^{n}\mu_j -\tfrac{1}{2}t^{2}\sum_{j=1}^{n}\sigma_j^{2}\right).
  • Agora usamos a propriedade fundamental: a função característica determina unicamente a distribuição. A expressão obtida é precisamente a função característica de uma normal com média igual a \sum_{j=1}^{n}\mu_j e variância igual a \sum_{j=1}^{n}\sigma_j^{2}. Portanto
S_n = X_{1}+\cdots+X_{n}\sim \operatorname{Normal}\!\Bigl(\sum_{j=1}^{n}\mu_j,\;\sum_{j=1}^{n}\sigma_j^{2}\Bigr).

Passo 5

Resumo prático e dica de prova (rapidinha, pra te animar):
  • Resultado fácil de memorizar: a soma de normais independentes é normal; as médias somam e as variâncias somam. Na prova, se pedirem só a distribuição da soma e já dissera “usar funções características”, basta escrever a CF de cada normal, multiplicar e identificar os parâmetros pelo expoente resultante.
  • Exemplo simples para fixar: se X\sim\mathcal{N}(2,1) e Y\sim\mathcal{N}(3,4) independentes, então X+Y\sim\mathcal{N}(5,5) porque as médias somam ( 2+3) e as variâncias somam ( 1+4).

Resposta

X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}\sim \operatorname{Normal}\!\Bigl(\sum_{j=1}^{n}\mu_{j},\;\sum_{j=1}^{n}\sigma_{j}^{2}\Bigr)

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