(Questão 9 - Seção 5.5 - Magalhães) Considere que
são variáveis aleatórias independentes com
. Com o uso de funções características, obtenha a distribuição da soma
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
-
Informações dadas:
- Temos
variáveis aleatórias independentes . - Para cada
vale . Ou seja, cada tem média e variância . - O enunciado pede explicitamente: “com o uso de funções características, obtenha a distribuição da soma
.”
- Temos
-
O que precisamos encontrar:
- A distribuição (tipo e parâmetros) da soma
Passo 2
Vou introduzir a ferramenta que o enunciado pede: a função característica. Não se assuste — é só uma expectativa complexa com propriedades muito úteis.
- Definição: Para uma variável aleatória
, a função característica é
onde
é a unidade imaginária e
.
- Propriedade essencial (que vamos usar): se
e são independentes, então a característica da soma é o produto das características:
Essa propriedade generaliza: para variáveis independentes
,
Vou aplicar isso ao nosso caso. Primeiro preciso da fórmula da função característica de uma normal qualquer
. No próximo passo eu mostro como obter essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Cálculo da função característica de
.
- Definição por integral: a densidade de
é
Logo
- Faço a integral trocando a variável para centralizar na média: defina
. Então e . A integral vira
Separe a parte que depende de
:
- Agora vamos lidar com o integrando complexo. Escrevemos o expoente como soma e completamos o quadrado:
Completar o quadrado dentro do parêntese:
Portanto
Observe que
- Substituindo na integral:
O fator
é independente de
, então sai da integral:
- A integral é a integral de uma gaussiana padrão deslocada no plano complexo. Pelo teorema de integração analítica (ou mudando contorno), esse deslocamento não altera o valor da integral gaussiana: a integral vale
. Assim o fator de normalização cancela e obtemos
- Observação prática: para a normal padrão
a característica é . A média introduz o fator de fase e a variância escala o termo quadrático no expoente.
Passo 4
Função característica da soma e identificação da distribuição.
- Como as
são independentes, pela propriedade do produto das características temos
- Produto de exponenciais é exponencial da soma dos expoentes, logo
- Agora usamos a propriedade fundamental: a função característica determina unicamente a distribuição. A expressão obtida é precisamente a função característica de uma normal com média igual a
e variância igual a . Portanto
Passo 5
Resumo prático e dica de prova (rapidinha, pra te animar):
- Resultado fácil de memorizar: a soma de normais independentes é normal; as médias somam e as variâncias somam. Na prova, se pedirem só a distribuição da soma e já dissera “usar funções características”, basta escrever a CF de cada normal, multiplicar e identificar os parâmetros pelo expoente resultante.
- Exemplo simples para fixar: se
e independentes, então porque as médias somam ( ) e as variâncias somam ( ).