Questão 3 (2.5 pts) Doentes sofrendo de certa moléstia, são submetidos a um tratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado por uma distribuição normal de média 25 e desvio padrão 4 .
a) Qual a proporção destes pacientes que demoram mais de 27 dias para se recuperar?
b) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de
dos pacientes?
a) Qual a proporção destes pacientes que demoram mais de 27 dias para se recuperar?
b) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (tudo abaixo foi dado pelo problema):
- O tempo de cura
foi modelado por uma distribuição normal com média (dias) e desvio padrão (dias). - Pergunta (a): qual a proporção dos pacientes que demoram mais de 27 dias para se recuperar? Em termos de probabilidade, pede-se
. - Pergunta (b): qual o tempo máximo necessário para a recuperação de
dos pacientes? Em termos de quantil, pede-se o valor tal que .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
- A variável
é normalmente distribuída: isso significa que probabilidades sobre são obtidas pela curva da normal. Para facilitar cálculos usa-se a padronização. - Padronização: define-se a variável padrão
onde
é a média e
o desvio padrão. A variável
tem distribuição normal padrão com média
e desvio
.
- Para qualquer
,
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão:
.
- Para encontrar
usamos
- Para encontrar um quantil
tal que , usamos
onde
é o quantil da normal padrão correspondente a
.
Vou aplicar essas fórmulas agora, mostrando cada conta e explicando como ler/usar a tabela (ou calculadora) da normal padrão.
Passo 3
Resolvendo (a): calcular
.
- Primeiro padroniza-se o valor
:
- Então
- Valor da tabela/funcão da normal padrão:
(este número foi consultado em tabela padrão da normal). - Logo
Interpretação prática: aproximadamente
dos pacientes demoram mais de 27 dias.
Passo 4
Dica rápida sobre interpretação e arredondamento: normalmente em provas usa-se entre 3 e 4 casas decimais para probabilidades; aqui mantive quatro casas em
. Se preferir em porcentagem, multiplica-se por
:
.
Passo 5
Resolvendo (b): encontrar o tempo máximo
tal que
.
- Queremos
, onde . - Vamos achar
a partir da tabela da normal padrão. Na tabela: -
-
O valorestá entre esses dois; vamos interpolar linearmente para maior precisão.
-
- Interpolação:
- Diferença de
entre e é . - Queremos sair de
até , ou seja um acréscimo de . - Fração do intervalo de probabilidade:
. - Assim o incremento em
é . - Logo
. (Isto coincide com o valor inverso mais preciso .)
- Diferença de
- Agora calcula-se
:
Arredondando para duas casas decimais (dias):
Interpretação prática:
dos pacientes recuperam-se em até cerca de
dias.
Passo 6
Resumo final dos resultados (já calculados e interpretados nos passos anteriores).
Resposta
(a)
(aprox.
)
(b) dias
(b)