Questão 3 (2.5 pts) Doentes sofrendo de certa moléstia, são submetidos a um tratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado por uma distribuição normal de média 25 e desvio padrão 4 .
a) Qual a proporção destes pacientes que demoram mais de 27 dias para se recuperar?
b) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 15 \% dos pacientes?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (tudo abaixo foi dado pelo problema):
  • O tempo de cura X foi modelado por uma distribuição normal com média \mu=25 (dias) e desvio padrão \sigma=4 (dias).
  • Pergunta (a): qual a proporção dos pacientes que demoram mais de 27 dias para se recuperar? Em termos de probabilidade, pede-se \mathbb{P}(X>27).
  • Pergunta (b): qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 15\% dos pacientes? Em termos de quantil, pede-se o valor t tal que \mathbb{P}(X\le t)=0,15.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
  • A variável X é normalmente distribuída: isso significa que probabilidades sobre X são obtidas pela curva da normal. Para facilitar cálculos usa-se a padronização.
  • Padronização: define-se a variável padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma o desvio padrão. A variável Z tem distribuição normal padrão com média 0 e desvio 1.
  • Para qualquer x,
\mathbb{P}(X\le x)=\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão: \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z).
  • Para encontrar \mathbb{P}(X>x) usamos
\mathbb{P}(X>x)=1-\mathbb{P}(X\le x)=1-\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).
  • Para encontrar um quantil t tal que \mathbb{P}(X\le t)=p, usamos
t=\mu+\sigma z_p,
onde z_p=\Phi^{-1}(p) é o quantil da normal padrão correspondente a p.
Vou aplicar essas fórmulas agora, mostrando cada conta e explicando como ler/usar a tabela (ou calculadora) da normal padrão.

Passo 3

Resolvendo (a): calcular \mathbb{P}(X>27).
  • Primeiro padroniza-se o valor 27:
z=\frac{27-\mu}{\sigma}=\frac{27-25}{4}=\frac{2}{4}=0,5.
  • Então
\mathbb{P}(X>27)=1-\Phi(0,5).
  • Valor da tabela/funcão da normal padrão: \Phi(0,5)=0,6915 (este número foi consultado em tabela padrão da normal).
  • Logo
\mathbb{P}(X>27)=1-0,6915=0,3085.
Interpretação prática: aproximadamente 30,85\% dos pacientes demoram mais de 27 dias.

Passo 4

Dica rápida sobre interpretação e arredondamento: normalmente em provas usa-se entre 3 e 4 casas decimais para probabilidades; aqui mantive quatro casas em 0,3085. Se preferir em porcentagem, multiplica-se por 100: 0,3085\approx30,85\%.

Passo 5

Resolvendo (b): encontrar o tempo máximo t tal que \mathbb{P}(X\le t)=0,15.
  • Queremos t=\mu+\sigma z_{0,15}, onde z_{0,15}=\Phi^{-1}(0,15).
  • Vamos achar z_{0,15} a partir da tabela da normal padrão. Na tabela:
    • \Phi(-1,04)=0,1492
    • \Phi(-1,03)=0,1515
      O valor 0,15 está entre esses dois; vamos interpolar linearmente para maior precisão.
  • Interpolação:
    • Diferença de \Phi entre -1,04 e -1,03 é 0,1515-0,1492=0,0023.
    • Queremos sair de 0,1492 até 0,15, ou seja um acréscimo de 0,15-0,1492=0,0008.
    • Fração do intervalo de probabilidade: 0,0008/0,0023\approx0,3478.
    • Assim o incremento em z é 0,01\times0,3478\approx0,003478.
    • Logo z_{0,15}\approx-1,04+0,003478=-1,036522. (Isto coincide com o valor inverso mais preciso z_{0,15}\approx-1,0364.)
  • Agora calcula-se t:
t=\mu+\sigma z_{0,15}=25+4\cdot(-1,036522)=25-4,146088\approx20,853912.
Arredondando para duas casas decimais (dias):
t\approx20,85\\ \text{dias}.
Interpretação prática: 15\% dos pacientes recuperam-se em até cerca de 20,85 dias.

Passo 6

Resumo final dos resultados (já calculados e interpretados nos passos anteriores).

Resposta

(a) 0,3085 (aprox. 30,85\%)
(b) 20,85 dias

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