Questão 4 ( 2.5 pts) As notas do vestibular para uma faculdade em ano recente tinham distribuição normal com média igual a 18,6 pontos e desvio-padrão igual a 5,9.
a) Qual é a probabilidade de um estudante, escolhido aleatoriamente entre os que fizeram o teste, obter, no mínimo, nota igual a 21 pontos?
b) Consideremos agora uma amostra aleatória simples de 50 estudantes que fizeram o teste. Qual é a probabilidade da nota média desses estudantes ser, no mínimo, 21 pontos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas.
Dados (pegos do enunciado):
  • A distribuição das notas no vestibular é normal com média \mu=18{,}6 e desvio-padrão \sigma=5{,}9.
  • Para a parte (b) considera-se uma amostra aleatória simples de tamanho n=50.
Perguntas:
  • (a) Qual é a probabilidade de um estudante, escolhido aleatoriamente, obter nota pelo menos igual a 21 pontos? Ou seja, calcular P(X\ge21) quando X é a nota de um estudante.
  • (b) Qual é a probabilidade de que a média das n=50 notas dessa amostra seja pelo menos 21 pontos? Ou seja, calcular P(\overline{X}\ge21).

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática passo a passo).
  • Quando a variável aleatória X tem distribuição normal com média \mu e desvio-padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2). A forma prática de calcular probabilidades usa a padronização: definimos a variável normal padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
que tem distribuição Z\sim N(0,1) (média 0 e desvio-padrão 1). Então
P(X\ge a)=P\!\left(Z\ge\frac{a-\mu}{\sigma}\right)=1-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão, isto é \Phi(z)=P(Z\le z).
  • Para a média amostral \overline{X} de uma amostra de tamanho n retirada de uma população com média \mu e desvio-padrão \sigma, temos (quando a população é normal, ou quando n é grande pelo Teorema Central do Limite) que
\overline{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
Ou seja, a média tem média \mu e desvio-padrão (erro padrão)
\mathrm{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Logo, de novo padronizamos:
P(\overline{X}\ge a)=P\!\left(Z\ge\frac{a-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=1-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right).
Vou aplicar essas fórmulas com \mu=18{,}6, \sigma=5{,}9, e a=21.

Passo 3

Parte (a): padronização da variável individual.
Calcular o escore z correspondente a X=21:
z=\frac{21-\mu}{\sigma}=\frac{21-18{,}6}{5{,}9}=\frac{2{,}4}{5{,}9}.
Fazendo a divisão:
\frac{2{,}4}{5{,}9}\approx0{,}40678\approx0{,}407.
Portanto estamos interessados em
P(X\ge21)=1-\Phi(0{,}407).

Passo 4

Parte (a): buscar o valor de \Phi(0{,}407) usando tabela da normal padrão (explicando como usar a tabela).
  • Tabelas usuais dão \Phi(0{,}40)\approx0{,}6554 e \Phi(0{,}41)\approx0{,}6591.
  • Como 0{,}407 está entre 0{,}40 e 0{,}41, interpola-se: a diferença entre 0{,}40 e 0{,}41 é 0{,}01; 0{,}407 está a 0{,}007 acima de 0{,}40, ou seja 0{,}7 da distância.
  • A diferença das cdfs é 0{,}6591-0{,}6554=0{,}0037. Multiplica-se por 0{,}7 e soma a \Phi(0{,}40):
\Phi(0{,}407)\approx0{,}6554+0{,}7\cdot0{,}0037\approx0{,}6554+0{,}00259\approx0{,}65799\approx0{,}658.
Logo
P(X\ge21)=1-\Phi(0{,}407)\approx1-0{,}658=0{,}342.

Passo 5

Parte (b): distribuição da média amostral e cálculo do erro padrão.
Como a população é normal, a média amostral \overline{X} tem distribuição normal exata com média \mu e variância \sigma^{2}/n. O erro padrão é:
\mathrm{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{5{,}9}{\sqrt{50}}.
Calculemos \sqrt{50} e a divisão:
\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}\approx5\cdot1{,}41421\approx7{,}0711.
Então
\mathrm{SE}\approx\frac{5{,}9}{7{,}0711}\approx0{,}8340.

Passo 6

Parte (b): padronização da média amostral para a=21.
Calcular o escore z para \overline{X}=21:
z=\frac{21-\mu}{\mathrm{SE}}=\frac{21-18{,}6}{0{,}8340}=\frac{2{,}4}{0{,}8340}\approx2{,}877.
Portanto
P(\overline{X}\ge21)=1-\Phi(2{,}877).

Passo 7

Parte (b): obter \Phi(2{,}877) pela tabela e calcular a probabilidade.
  • Tabelas dão \Phi(2{,}87)\approx0{,}99796 e \Phi(2{,}88)\approx0{,}99802.
  • 2{,}877 está 0{,}007 acima de 2{,}87, isto é 0{,}7 da distância até 2{,}88.
  • A diferença das cdfs é 0{,}99802-0{,}99796=0{,}00006. Multiplica-se por 0{,}7: 0{,}7\cdot0{,}00006=0{,}000042.
  • Soma a \Phi(2{,}87):
\Phi(2{,}877)\approx0{,}99796+0{,}000042\approx0{,}998002\approx0{,}9980.
Logo
P(\overline{X}\ge21)=1-\Phi(2{,}877)\approx1-0{,}9980=0{,}0020.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida (motivação para a prova).
  • Resultado da parte (a): a probabilidade de um estudante individual tirar pelo menos 21 é relativamente alta, cerca de 34{,}2\%. Faz sentido porque 21 está pouco acima da média 18{,}6 (apenas 0{,}41 desvios-padrão acima).
  • Resultado da parte (b): a média de uma amostra de 50 estudantes tem desvio muito menor ( \mathrm{SE}\approx0{,}834), por isso obter média amostral \ge21 é raro (cerca de 0{,}2\%). Intuitivamente: média de muitas observações é mais concentrada perto da média populacional.
Força aí — essas contas de padronização e uso da tabela são passos que valem em praticamente toda questão de normal. Treina padronizar, achar z e usar a tabela.

Resposta

P(X\ge21)\approx0{,}342
P(\overline{X}\ge21)\approx0{,}002

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