Questão 4 ( 2.5 pts) As notas do vestibular para uma faculdade em ano recente tinham distribuição normal com média igual a 18,6 pontos e desvio-padrão igual a 5,9.
a) Qual é a probabilidade de um estudante, escolhido aleatoriamente entre os que fizeram o teste, obter, no mínimo, nota igual a 21 pontos?
b) Consideremos agora uma amostra aleatória simples de 50 estudantes que fizeram o teste. Qual é a probabilidade da nota média desses estudantes ser, no mínimo, 21 pontos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas.
Dados (pegos do enunciado):
A distribuição das notas no vestibular é normal com média \mu=18{,}6 e desvio-padrão \sigma=5{,}9.
Para a parte (b) considera-se uma amostra aleatória simples de tamanho n=50.
Perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de um estudante, escolhido aleatoriamente, obter nota pelo menos igual a 21 pontos? Ou seja, calcular P(X\ge21) quando X é a nota de um estudante.
(b) Qual é a probabilidade de que a média das n=50 notas dessa amostra seja pelo menos 21 pontos? Ou seja, calcular P(\overline{X}\ge21).
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática passo a passo).
Quando a variável aleatória X tem distribuição normal com média \mu e desvio-padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2). A forma prática de calcular probabilidades usa a padronização: definimos a variável normal padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
que tem distribuição Z\sim N(0,1) (média 0 e desvio-padrão 1). Então
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão, isto é \Phi(z)=P(Z\le z).
Para a média amostral \overline{X} de uma amostra de tamanho n retirada de uma população com média \mu e desvio-padrão \sigma, temos (quando a população é normal, ou quando n é grande pelo Teorema Central do Limite) que
Parte (a): buscar o valor de \Phi(0{,}407) usando tabela da normal padrão (explicando como usar a tabela).
Tabelas usuais dão \Phi(0{,}40)\approx0{,}6554 e \Phi(0{,}41)\approx0{,}6591.
Como 0{,}407 está entre 0{,}40 e 0{,}41, interpola-se: a diferença entre 0{,}40 e 0{,}41 é 0{,}01; 0{,}407 está a 0{,}007 acima de 0{,}40, ou seja 0{,}7 da distância.
A diferença das cdfs é 0{,}6591-0{,}6554=0{,}0037. Multiplica-se por 0{,}7 e soma a \Phi(0{,}40):
Interpretação final e checagem rápida (motivação para a prova).
Resultado da parte (a): a probabilidade de um estudante individual tirar pelo menos 21 é relativamente alta, cerca de 34{,}2\%. Faz sentido porque 21 está pouco acima da média 18{,}6 (apenas 0{,}41 desvios-padrão acima).
Resultado da parte (b): a média de uma amostra de 50 estudantes tem desvio muito menor (\mathrm{SE}\approx0{,}834), por isso obter média amostral \ge21 é raro (cerca de 0{,}2\%). Intuitivamente: média de muitas observações é mais concentrada perto da média populacional.
Força aí — essas contas de padronização e uso da tabela são passos que valem em praticamente toda questão de normal. Treina padronizar, achar z e usar a tabela.