Explique a Distribuição de Bernoulli (Definição, Parâmetro p) e apresente as fórmulas de sua Esperança E(X) e Variância \operatorname{Var}(X).
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar a Distribuição de Bernoulli — ou seja, dar a definição e o significado do parâmetro \,p,— e apresentar as fórmulas da Esperança \,E(X)\, e da Variância \,\operatorname{Var}(X)\,.\n
Informações relevantes fornecidas (implícitas no pedido): a variável aleatória \,X\, que segue essa distribuição só pode assumir dois valores distintos (tipicamente \,0 e \,1), e existe um parâmetro \,p que controla a probabilidade de um dos valores ocorrer. Nada mais foi pedido além de definição e fórmulas.
Passo 2
Definição e função massa de probabilidade (PMF):\n
A distribuição de Bernoulli descreve uma experiência com dois resultados possíveis, que chamamos comumente de “sucesso” e “falha”. Definimos a variável aleatória \,X\,\) por:\n
\[X = \begin{cases} 1, & \text{se ocorrer sucesso},\\[4pt] 0, & \text{se ocorrer falha}. \end{cases}\n
O parâmetro \,p\in[0,1]\,\] é a probabilidade de sucesso, isto é \(\,p = \mathbb{P}(X=1)\,. A função massa de probabilidade (PMF) de \,X\, é então:\n
\,p\, representa a chance de obter o valor \,1 (sucesso).\n
\,1-p\, representa a chance de obter o valor \,0 (falha).\n
Exemplo concreto: se \,p=0,3\, então em média esperamos sucesso em 30\% das tentativas e falha em 70\%.
Passo 4
Relembrando a definição de esperança (média) para uma variável discreta:\n
Se \,X\, toma valores finitos \,x_i\, com probabilidades \,p_i=\mathbb{P}(X=x_i)\,, então\n
E(X)=\sum_i x_i\,p_i.\n
Aqui cada termo \,x_i p_i\, é a contribuição daquele valor ao valor médio ponderado pela probabilidade.
Passo 5
Cálculo da esperança \,E(X)\, para Bernoulli:\n
A variável \,X\, só pode ser \,0 ou \,1, portanto aplicamos a definição:\n
Substituindo \,\mathbb{P}(X=0)=1-p\, e \,\mathbb{P}(X=1)=p\, obtemos:\n
E(X)=0\cdot(1-p)+1\cdot p = p.\n
Interpretação: a média de \,X\, é exatamente a probabilidade de sucesso \,p\,. Isso faz sentido porque a média conta a fração esperada de ocorrências do valor \,1.
Passo 6
Relembrando a definição de variância e uma fórmula útil:\n
A variância mede a dispersão em torno da média e é definida por\n
\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E(X))^2\big].\n
Uma identidade muito útil (fácil de demonstrar) é:\n
\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2.\n
Vou usar essa identidade porque costuma simplificar contas em variáveis que assumem poucos valores.
Passo 7
Cálculo de \,E(X^2)\, para Bernoulli e uso na variância:\n
Note que, como \,X\in\{0,1\}, temos \,X^2=X para todos os resultados possíveis (porque 0^2=0 e 1^2=1). Portanto\n
E(X^2)=E(X)=p.\n
Agora aplicamos a identidade da variância:\n
\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2 = p - p^2.\n
Fatorando, obtemos a forma padrão:\n
\operatorname{Var}(X)=p(1-p).
Passo 8
Interpretação e observações finais (úteis para prova):\n
A variância \,p(1-p)\, é máxima quando \,p=\tfrac{1}{2}\,. Isso pode ser visto considerando a função \,f(p)=p(1-p)=-p^2+p\, cujo vértice está em \,p=\tfrac{1}{2}\, e o valor máximo é \,\tfrac{1}{4}\,. Intuição: incerteza máxima quando sucesso e falha são igualmente prováveis.\n
Se \,p=0\, ou \,p=1\,, então \,\operatorname{Var}(X)=0\,, porque a variável é constante (sempre 0 ou sempre 1).\n
Exemplo numérico rápido: para \,p=0,3\, temos \,E(X)=0,3\, e \,\operatorname{Var}(X)=0,3\cdot 0,7=0,21\,.\n
A distribuição de Bernoulli é o bloco de construção do modelo binomial: somas de Bernoullis independentes com mesmo \,p\, geram uma distribuição binomial.