Uma fábrica de componentes eletrônicos produz resistores que, em média, apresentam defeitos em 5 \% das unidades produzidas.
Qual a probabilidade de que, em uma amostra de 20 resistores, pelo menos 1 apresente defeito?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa específica:
  • Taxa média de defeito por resistor: p=0,05 (ou seja, 5\%).
  • Tamanho da amostra: n=20 resistores.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, nessa amostra de 20 resistores, haja pelo menos 1 resistor com defeito?

Passo 2

Vamos pensar no experimento: cada resistor inspecionado tem apenas duas possibilidades relevantes aqui — “defeito” ou “sem defeito”. Essas tentativas são independentes (o resultado de um não altera os outros) e cada uma tem a mesma probabilidade de defeito p. Quando temos n tentativas desse tipo, a probabilidade de ocorrer exatamente k defeitos é dada por uma fórmula padrão (vou apresentar e explicar):
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicando cada parte:
  • X é a variável aleatória que conta quantos resistores com defeito aparecem na amostra.
  • n é o número de ensaios independentes ( n=20).
  • k é o número de sucessos/defeitos que queremos a probabilidade de ocorrer.
  • p é a probabilidade de defeito em cada resistor ( p=0,05).
  • \binom{n}{k} (lê-se “combinatório”) é o número de maneiras de escolher quais k entre os n serão os defeituosos; a fórmula é \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
  • p^{k} é a probabilidade de esses k escolhidos darem defeito.
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade de os outros n-k não darem defeito.
Aqui a pergunta pede “pelo menos 1” defeituoso, isto é P(X\ge 1). Um truque muito útil em probabilidades é usar o evento complementar, porque calcular P(X=0) é bem simples. Temos:
P(X\ge 1)=1-P(X=0).

Passo 3

Calcular P(X=0) com a fórmula. Substituindo k=0:
P(X=0)=\binom{20}{0}\,p^{0}\,(1-p)^{20}.
Agora interpreto cada fator:
  • \binom{20}{0}=1 (só há uma maneira de escolher zero itens).
  • p^{0}=1.
    Então
P(X=0)=(1-p)^{20}.
Com p=0,05 isso vira
P(X=0)=(1-0,05)^{20}=(0,95)^{20}.

Passo 4

Agora vamos calcular (0,95)^{20}. Uma forma prática de fazer potências à mão é usar exponenciação por quadrados (para não precisar multiplicar 0,95 vinte vezes):
\begin{aligned} 0,95^{2}&=0,9025,\\[4pt] 0,95^{4}&=(0,95^{2})^{2}=0,9025^{2}=0,81450625,\\[4pt] 0,95^{8}&=(0,95^{4})^{2}=0,81450625^{2}\approx 0,6634204312890625,\\[4pt] 0,95^{16}&=(0,95^{8})^{2}\approx 0,6634204312890625^{2}\approx 0,440298,\\[4pt] 0,95^{20}&=0,95^{16}\cdot 0,95^{4}\approx 0,440298\cdot 0,81450625\approx 0,358485922. \end{aligned}
(Se preferir, dá para verificar pelo aproximado de Poisson/Exponencial: (1-p)^{n}\approx e^{-np}=e^{-1}\approx 0,3679 que fica próximo, mas o valor exato computado por potências é (0,95)^{20}\approx 0,358486.)]

Passo 5

Voltando ao complemento:
P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(0,95)^{20}.
Substituindo o valor numérico que calculamos:
P(X\ge 1)\approx 1-0,358485922\approx 0,641514078.
Arredondando de forma conveniente para a prova, fica aproximadamente 0,6415, ou em porcentagem, cerca de 64,15\%.

Passo 6

Interpretação final em linguagem de prova (curtinha para decorar): a chance de encontrar pelo menos um resistor defeituoso numa amostra de 20, quando a taxa verdadeira é 5\%, é
P(X\ge1)=1-(0,95)^{20}\approx 0,6415.
Força aí — decorando o truque do complemento ( 1-P(0)) você resolve esse tipo de questão rapidinho na prova.

Resposta

1-(0,95)^{20}\approx 0,6415

Exercícios relacionados