Uma fábrica de componentes eletrônicos produz resistores que, em média, apresentam defeitos em
das unidades produzidas.
Qual a probabilidade de que, em uma amostra de 20 resistores, pelo menos 1 apresente defeito?
Qual a probabilidade de que, em uma amostra de 20 resistores, pelo menos 1 apresente defeito?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa específica:
- Taxa média de defeito por resistor:
(ou seja, ). - Tamanho da amostra:
resistores. - Pergunta: qual a probabilidade de que, nessa amostra de
resistores, haja pelo menos resistor com defeito?
Passo 2
Vamos pensar no experimento: cada resistor inspecionado tem apenas duas possibilidades relevantes aqui — “defeito” ou “sem defeito”. Essas tentativas são independentes (o resultado de um não altera os outros) e cada uma tem a mesma probabilidade de defeito
. Quando temos
tentativas desse tipo, a probabilidade de ocorrer exatamente
defeitos é dada por uma fórmula padrão (vou apresentar e explicar):
Explicando cada parte:
-
é a variável aleatória que conta quantos resistores com defeito aparecem na amostra. -
é o número de ensaios independentes ( ). -
é o número de sucessos/defeitos que queremos a probabilidade de ocorrer. -
é a probabilidade de defeito em cada resistor ( ). -
(lê-se “combinatório”) é o número de maneiras de escolher quais entre os serão os defeituosos; a fórmula é . -
é a probabilidade de esses escolhidos darem defeito. -
é a probabilidade de os outros não darem defeito.
Aqui a pergunta pede “pelo menos 1” defeituoso, isto é
. Um truque muito útil em probabilidades é usar o evento complementar, porque calcular
é bem simples. Temos:
Passo 3
Calcular
com a fórmula. Substituindo
:
Agora interpreto cada fator:
-
(só há uma maneira de escolher zero itens). -
.
Então
Com
isso vira
Passo 4
Agora vamos calcular
. Uma forma prática de fazer potências à mão é usar exponenciação por quadrados (para não precisar multiplicar
vinte vezes):
(Se preferir, dá para verificar pelo aproximado de Poisson/Exponencial:
que fica próximo, mas o valor exato computado por potências é
.)]
Passo 5
Voltando ao complemento:
Substituindo o valor numérico que calculamos:
Arredondando de forma conveniente para a prova, fica aproximadamente
, ou em porcentagem, cerca de
.
Passo 6
Interpretação final em linguagem de prova (curtinha para decorar): a chance de encontrar pelo menos um resistor defeituoso numa amostra de
, quando a taxa verdadeira é
, é
Força aí — decorando o truque do complemento (
) você resolve esse tipo de questão rapidinho na prova.