Uma fábrica de computadores tem uma produção diária normalmente distribuída com média igual a 800 unidades e desvio padrão de 40 unidades.
Qual a probabilidade de que em um dia está fábrica produza entre 810 e 870 unidades de computadores?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A produção diária X segue uma distribuição normal com média \mu=800 unidades e desvio padrão \sigma=40 unidades.
  • Queremos a probabilidade de que a produção num dia esteja entre 810 e 870 unidades, isto é, calcular
P(810 \le X \le 870).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): para uma variável aleatória contínua X com distribuição normal, uma probabilidade do tipo P(a\le X\le b) é a área sob a curva da densidade normal entre a e b. Para facilitar o cálculo usamos a padronização: transformamos X numa variável normal padrão Z que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula de padronização é
Z = \frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original (produção),
  • \mu é a média da distribuição (aqui \mu=800),
  • \sigma é o desvio padrão (aqui \sigma=40),
  • Z é a nova variável com distribuição normal padrão, para a qual usamos tabelas ou calculadora para obter probabilidades.

Passo 3

Aplicando a padronização aos dois limites 810 e 870:
Para 810:
z_1=\frac{810-800}{40}=\frac{10}{40}=0,25.
Para 870:
z_2=\frac{870-800}{40}=\frac{70}{40}=1,75.
Portanto
P(810 \le X \le 870)=P(0,25 \le Z \le 1,75).

Passo 4

Agora usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi(z)=P(Z\le z). A probabilidade pedida é a diferença das acumuladas:
P(0,25 \le Z \le 1,75)=\Phi(1,75)-\Phi(0,25).
Consultando tabela da normal padrão (ou calculadora), obtemos os valores:
\Phi(1,75)\approx 0,9599,
\Phi(0,25)\approx 0,5987.
Explicação rápida de leitura: \Phi(1,75)= área até z=1,75; \Phi(0,25)= área até z=0,25. Subtraindo ficamos com a área entre os dois pontos.

Passo 5

Calculando a diferença:
P(810 \le X \le 870)=0,9599-0,5987=0,3612\\ (\text{aproximadamente}).
Interpretação: a probabilidade é cerca de 0,3612, isto é, aproximadamente 36{,}12\%. Força — esse tipo de padronização é padrão em provas: calcule os z-valores e consulte a tabela da normal padrão.

Resposta

\,0,3612
\,36{,}12\%

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