Uma fábrica de computadores tem uma produção diária normalmente distribuída com média igual a 800 unidades e desvio padrão de 40 unidades.
Qual a probabilidade de que em um dia está fábrica produza menos de 834 unidades de computadores?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A produção diária X segue uma distribuição normal.
  • Média da produção: \mu=800 unidades.
  • Desvio padrão: \sigma=40 unidades.
  • Pergunta: Qual a probabilidade de que em um dia a fábrica produza menos de 834 unidades, ou seja, calcular \Pr(X<834).

Passo 2

O que significa “distribuição normal” na prática e qual a ideia para calcular essa probabilidade?
  • A distribuição normal é uma curva contínua e simétrica em torno da média \mu. Para qualquer valor x queremos a Área à esquerda de x sob essa curva, que é \Pr(X<x).
  • Para facilitar o uso de tabelas ou calculadoras, padronizamos a variável normal para a “normal padrão” Z, que tem média 0 e desvio padrão 1. A padronização transforma X em Z pela fórmula abaixo, que diz quantos desvios-padrão o valor x está distante da média:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
  • Depois de calcular z, usamos a tabela da função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi(z)=\Pr(Z<z) para obter a probabilidade desejada.

Passo 3

Aplicando a fórmula de padronização ao nosso caso ( x=834, \mu=800, \sigma=40):
  • Primeiro subtrair a média:
834-800=34.
  • Depois dividir pelo desvio padrão:
z=\frac{34}{40}=0,85.
Portanto \Pr(X<834)=\Pr\!\left(Z<0,85\right).

Passo 4

Como obter \Pr(Z<0,85):
  • Usamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora estatística). A tabela dá o valor de \Phi(z) = área à esquerda de z.
  • No caso, a tabela ou calculadora fornece
\Phi(0,85)=0,8023.
(Se você usar uma tabela que só dê duas casas, pode interpolar entre 0,8 e 0,9; aqui o valor padrão conhecido é 0,8023.)

Passo 5

Interpretação:
  • A probabilidade de a produção diária ser menor que 834 unidades é 0,8023.
  • Em termos percentuais, isso equivale a 80,23\%. Ou seja, em média, em cerca de 80\% dos dias a produção ficará abaixo de 834 unidades.

Resposta

0,8023

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