Um abatedouro tem a intenção de comprar todos os coelhos de uma granja se, e somente se, a probabilidade dos coelhos pesarem menos que 3,5 \mathrm{~kg} for menor de 5 \%. Sabendo que a distribuição dos pesos de coelhos criados na granja da UFTM - Iturama pode ser muito bem representada por uma distribuição Normal, com média 5 kg e variância 0,81 \mathrm{~kg}, você poderia afirmar que a granja da UFTM atende a exigência do abatedouro? Por quê?

Passo 1

O enunciado pergunta se a granja atende à exigência do abatedouro, que é: o abatedouro comprará todos os coelhos se, e somente se, a probabilidade de um coelho pesar menos que 3{,}5\\ \mathrm{kg} for menor que 5\%.\n
Informações dadas:
\text{Distribuição dos pesos: Normal com média } \mu=5\\ \mathrm{kg} \text{ e variância } \sigma^2=0{,}81\\ \mathrm{kg}^2.çãéâ
A pergunta a responder é: \emph{a probabilidade de um coelho pesar menos que 3{,}5\\ \mathrm{kg} é menor que 5\%?} Se sim, a granja atende; se não, não atende.

Passo 2

Primeiro passo técnico: transformar a variância em desvio-padrão, porque a normal é mais facilmente trabalhada com o desvio-padrão. A variância é \sigma^2=0{,}81. O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{0{,}81}=0{,}9\\ \mathrm{kg}.
Explicação didática: o desvio-padrão \sigma mede a dispersão típica ao redor da média \mu. Para comparar um valor específico x com a média em unidades de dispersão, usamos (x-\mu)/\sigma.

Passo 3

Padronizamos o valor x=3{,}5 para a distribuição Normal padrão (média zero e desvio 1). A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde X é a variável original (peso), \mu é a média e \sigma é o desvio-padrão. Aplicando:
z=\frac{3{,}5-5}{0{,}9}=\frac{-1{,}5}{0{,}9}=-\tfrac{5}{3}\approx -1{,}666\ldots
Interpretação: 3{,}5\\ \mathrm{kg} está aproximadamente 1{,}67 desvios-padrão abaixo da média.

Passo 4

Agora precisamos da probabilidade \mathbb{P}(X<3{,}5). Em termos da Normal padrão isso é
\mathbb{P}(X<3{,}5)=\mathbb{P}\!\left(Z< -1{,}666\ldots\right).
Usamos a tabela da Normal padrão (função de distribuição acumulada \Phi). Lembrete útil: pela simetria da Normal,
\Phi(-a)=1-\Phi(a).
Valores de tabela comuns (peguei da tabela padrão):
\Phi(1{,}66)=0{,}9515,\qquad \Phi(1{,}67)=0{,}9525.
Logo
\Phi(-1{,}66)=1-0{,}9515=0{,}0485, \qquad \Phi(-1{,}67)=1-0{,}9525=0{,}0475.
Nosso z é -1{,}666\ldots, que está meio termo entre -1{,}66 e -1{,}67. Fazendo uma interpolação simples (média aproximada) obtemos
\mathbb{P}(X<3{,}5)\approx 0{,}0480.
Explicação didática: a tabela dá valores para duas casas decimais em z; quando z cai entre dois valores da tabela, podemos interpolar linearmente para uma boa aproximação. Aqui a diferença é pequena, então \approx 0{,}048 é adequado.

Passo 5

Converter para percentagem e comparar com o critério do abatedouro:
0{,}048\equiv 4{,}8\%.
O abatedouro exige que essa probabilidade seja menor que 5\%. Como 4{,}8\%<5\%, a condição é satisfeita.

Passo 6

Conclusão interpretativa e dica para a prova: o peso 3{,}5\\ \mathrm{kg} está cerca de 1{,}67 desvios-padrão abaixo da média; saber buscar \Phi(z) na tabela e usar a simetria \Phi(-z)=1-\Phi(z) resolve questões desse tipo rapidamente. Se não tiver tabela precisa, lembrar que z\approx-1{,}65 já dá probabilidade próxima a 5\%, então qualquer coisa mais baixa que -1{,}65 tende a produzir probabilidade menor que 5\%.

Resposta

Sim. A probabilidade é aproximadamente 0{,}048 (ou 4{,}8\%), que é menor que 5\%.

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