Um abatedouro tem a intenção de comprar todos os coelhos de uma granja se, e somente se, a probabilidade dos coelhos pesarem menos que
for menor de
. Sabendo que a distribuição dos pesos de coelhos criados na granja da UFTM - Iturama pode ser muito bem representada por uma distribuição Normal, com média 5 kg e variância
, você poderia afirmar que a granja da UFTM atende a exigência do abatedouro? Por quê?
Passo 1
O enunciado pergunta se a granja atende à exigência do abatedouro, que é: o abatedouro comprará todos os coelhos se, e somente se, a probabilidade de um coelho pesar menos que
for menor que
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
A pergunta a responder é: \emph{a probabilidade de um coelho pesar menos que
é menor que
?} Se sim, a granja atende; se não, não atende.
Passo 2
Primeiro passo técnico: transformar a variância em desvio-padrão, porque a normal é mais facilmente trabalhada com o desvio-padrão. A variância é
. O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
Explicação didática: o desvio-padrão
mede a dispersão típica ao redor da média
. Para comparar um valor específico
com a média em unidades de dispersão, usamos
.
Passo 3
Padronizamos o valor
para a distribuição Normal padrão (média zero e desvio 1). A fórmula de padronização é
onde
é a variável original (peso),
é a média e
é o desvio-padrão. Aplicando:
Interpretação:
está aproximadamente
desvios-padrão abaixo da média.
Passo 4
Agora precisamos da probabilidade
. Em termos da Normal padrão isso é
Usamos a tabela da Normal padrão (função de distribuição acumulada
). Lembrete útil: pela simetria da Normal,
Valores de tabela comuns (peguei da tabela padrão):
Logo
Nosso
é
, que está meio termo entre
e
. Fazendo uma interpolação simples (média aproximada) obtemos
Explicação didática: a tabela dá valores para duas casas decimais em
; quando
cai entre dois valores da tabela, podemos interpolar linearmente para uma boa aproximação. Aqui a diferença é pequena, então
é adequado.
Passo 5
Converter para percentagem e comparar com o critério do abatedouro:
O abatedouro exige que essa probabilidade seja menor que
. Como
, a condição é satisfeita.
Passo 6
Conclusão interpretativa e dica para a prova: o peso
está cerca de
desvios-padrão abaixo da média; saber buscar
na tabela e usar a simetria
resolve questões desse tipo rapidamente. Se não tiver tabela precisa, lembrar que
já dá probabilidade próxima a
, então qualquer coisa mais baixa que
tende a produzir probabilidade menor que
.
Resposta
Sim. A probabilidade é aproximadamente
(ou
), que é menor que
.