Uma fábrica de computadores tem uma produção diária normalmente distribuída com média igual a 800 unidades e desvio padrão de 40 unidades.
Qual a probabilidade de que em um dia está fábrica produza entre 790 e 800 unidades de computadores?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A produção diária X é normalmente distribuída com média \mu=800 unidades e desvio padrão \sigma=40 unidades.
  • A pergunta: qual a probabilidade de que, num dia, a fábrica produza entre 790 e 800 unidades? Ou seja, calcular P(790 \le X \le 800).
Entendendo o que é pedido: precisamos encontrar a área sob a curva da distribuição normal entre os pontos x=790 e x=800. Essa área representa a probabilidade de X cair nesse intervalo.

Passo 2

Para trabalhar com a normal é conveniente padronizar (transformar para a normal padrão). A normal padrão é uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1. Chamamos sua função de distribuição acumulada de \Phi(z), que dá P(Z \le z) para Z ~ Normal(0,1).
Fórmula de padronização (transformação para Z):
z = \frac{x - \mu}{\sigma}
Aqui:
  • x é o valor da variável original que queremos transformar,
  • \mu é a média da distribuição original,
  • \sigma é o desvio padrão da distribuição original,
  • z é o valor correspondente na normal padrão.

Passo 3

Aplicando a fórmula para os extremos do intervalo:
z_{790} = \frac{790 - 800}{40} = \frac{-10}{40} = -0,25
z_{800} = \frac{800 - 800}{40} = 0
Portanto P(790 \le X \le 800) = P(-0,25 \le Z \le 0) com Z ~ Normal(0,1).

Passo 4

Escrevendo a probabilidade em termos da função \Phi:
P(-0,25 \le Z \le 0) = \Phi(0) - \Phi(-0,25).
Sabemos que \Phi(0)=0,5 (metade da distribuição está à esquerda de zero).

Passo 5

Usamos a simetria da normal padrão. Para z>0 vale:
\Phi(-z) = 1 - \Phi(z).
Aplicando com z=0,25:
\Phi(-0,25) = 1 - \Phi(0,25).
Substituindo em P(-0,25 \le Z \le 0):
P(-0,25 \le Z \le 0) = 0,5 - \bigl(1 - \Phi(0,25)\bigr) = \Phi(0,25) - 0,5.

Passo 6

Agora precisamos do valor \Phi(0,25). Consultando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora estatística), obtemos aproximadamente:
\Phi(0,25) \approx 0,5987.
Portanto:
P(-0,25 \le Z \le 0) \approx 0,5987 - 0,5 = 0,0987.
Interpretação e dica de prova: a probabilidade é cerca de 9,87\%. Em prova sem calculadora, é comum ter tabelas da normal padrão; procure na tabela o valor de z=0,25. Se só tiver tabela para valores positivos, use a simetria mostrada para lidar com valores negativos.
Verificação rápida por sentido: o intervalo 790 a 800 é de apenas 0,25 desvios padrão abaixo da média até a média; essa faixa pequena à esquerda da média tem uma probabilidade menor que 0,5, e cerca de 0,0987 faz sentido (aproximadamente 10%).

Resposta

0,0987 (aproximadamente 9,87\%)

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