Uma fábrica de computadores tem uma produção diária normalmente distribuída com média igual a 800 unidades e desvio padrão de 40 unidades.
Qual a probabilidade de que em um dia está fábrica produza entre 790 e 800 unidades de computadores?
Qual a probabilidade de que em um dia está fábrica produza entre 790 e 800 unidades de computadores?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- A produção diária
é normalmente distribuída com média unidades e desvio padrão unidades. - A pergunta: qual a probabilidade de que, num dia, a fábrica produza entre
e unidades? Ou seja, calcular .
Entendendo o que é pedido: precisamos encontrar a área sob a curva da distribuição normal entre os pontos
e
. Essa área representa a probabilidade de
cair nesse intervalo.
Passo 2
Para trabalhar com a normal é conveniente padronizar (transformar para a normal padrão). A normal padrão é uma distribuição normal com média
e desvio padrão
. Chamamos sua função de distribuição acumulada de
, que dá
para
~ Normal(0,1).
Fórmula de padronização (transformação para
):
Aqui:
-
é o valor da variável original que queremos transformar, -
é a média da distribuição original, -
é o desvio padrão da distribuição original, -
é o valor correspondente na normal padrão.
Passo 3
Aplicando a fórmula para os extremos do intervalo:
Portanto
com
~ Normal(0,1).
Passo 4
Escrevendo a probabilidade em termos da função
:
Sabemos que
(metade da distribuição está à esquerda de zero).
Passo 5
Usamos a simetria da normal padrão. Para
vale:
Aplicando com
:
Substituindo em
:
Passo 6
Agora precisamos do valor
. Consultando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora estatística), obtemos aproximadamente:
Portanto:
Interpretação e dica de prova: a probabilidade é cerca de
. Em prova sem calculadora, é comum ter tabelas da normal padrão; procure na tabela o valor de
. Se só tiver tabela para valores positivos, use a simetria mostrada para lidar com valores negativos.
Verificação rápida por sentido: o intervalo
a
é de apenas
desvios padrão abaixo da média até a média; essa faixa pequena à esquerda da média tem uma probabilidade menor que
, e cerca de
faz sentido (aproximadamente 10%).