Uma fábrica deseja maximizar sua produção utilizando dois recursos: horas de máquina m e horas de trabalho l.
A função de produção da empresa é:
Q(m, l)=\sqrt{m l} .
O custo por hora de máquina é v reais/h e o custo por hora de trabalho é w reais/h.
A fábrica possui um orçamento total de C_{0} reais, que deve obedecer à restrição:
v m+w l=C_{0} .
Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, determine:
a) Os valores ótimos m^{*} e l^{*} que maximizam a produção.
b) A produção máxima Q^{*}.
c) Interprete economicamente o resultado.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede aquilo que está abaixo:
  • Função de produção: \displaystyle Q(m,l)=\sqrt{m l}.
  • Custos por hora: v reais/h para máquina e w reais/h para trabalho.
  • Restrição orçamentária: \displaystyle v m + w l = C_{0}.
  • Variáveis m e l são horas, portanto m\ge 0 e l\ge 0.
O que o problema pede:
a) Encontrar os valores ótimos \;m^{*} e \;l^{*} que maximizam Q sujeito à restrição.
b) Calcular a produção máxima Q^{*}.
c) Interpretar economicamente o resultado.

Passo 2

Observação útil para simplificar contas (explicação didática): a função \sqrt{m l} é crescente em m l. Portanto maximizar Q(m,l)=\sqrt{m l} é equivalente a maximizar Q(m,l)^{2}=m l, porque a transformação x\mapsto\sqrt{x} é monotonicamente crescente para x\ge 0. Maximizar m l torna as derivadas mais simples (sai raiz), e a solução será a mesma em termos de m e l.
Vou usar o método dos multiplicadores de Lagrange para maximizar a função m l sujeita à restrição linear v m + w l = C_{0}, conforme pedido.

Passo 3

Formulemos a função de Lagrange. Defino a função objetivo (a maximizar) como f(m,l)=m l e o multiplicador \lambda para a restrição. A Lagrangiana é
\mathcal{L}(m,l,\lambda)=m l + \lambda\bigl(C_{0}-v m - w l\bigr).
Explicação do que isso significa: \lambda é uma variável que acompanha a restrição; nas condições de ótimo ela iguala as taxas marginais da restrição com as do objetivo (e, no problema original, está relacionada ao valor marginal do orçamento).

Passo 4

Escrevemos as condições de primeira ordem (derivadas parciais da Lagrangiana e igualando a zero).
Derivando em relação a m:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial m}=l - \lambda v = 0 \quad\Rightarrow\quad l=\lambda v.
Derivando em relação a l:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial l}=m - \lambda w = 0 \quad\Rightarrow\quad m=\lambda w.
Derivando em relação a \lambda (obtemos a restrição):
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=C_{0}-v m - w l = 0 \quad\Rightarrow\quad v m + w l = C_{0}.
Estas três equações formam um sistema para m,l,\lambda.

Passo 5

Resolver o sistema: a partir de l=\lambda v e m=\lambda w, substituímos na restrição:
v(\lambda w) + w(\lambda v) = C_{0}
\lambda (v w + w v)=C_{0}\quad\Rightarrow\quad \lambda (2 v w)=C_{0}.
Logo
\lambda=\frac{C_{0}}{2 v w}.
Agora obtenho m^{*} e l^{*}:
m^{*}=\lambda w=\frac{C_{0}}{2 v w}\,w=\frac{C_{0}}{2 v},
l^{*}=\lambda v=\frac{C_{0}}{2 v w}\,v=\frac{C_{0}}{2 w}.
Portanto
\boxed{m^{*}=\dfrac{C_{0}}{2 v},\qquad l^{*}=\dfrac{C_{0}}{2 w}.}

Passo 6

Calcular a produção máxima Q^{*}. Usando \;Q^{*}=\sqrt{m^{*} l^{*}}:
m^{*} l^{*}=\frac{C_{0}}{2 v}\cdot\frac{C_{0}}{2 w}=\frac{C_{0}^{2}}{4 v w},
portanto
Q^{*}=\sqrt{m^{*} l^{*}}=\sqrt{\frac{C_{0}^{2}}{4 v w}}=\frac{C_{0}}{2\sqrt{v w}}.

Passo 7

Verificação rápida de que é máximo (intuitiva e simples): se l for eliminado pela restrição, a função Q^{2}=m l como função de apenas m fica proporcional a uma quadrática -\dfrac{v}{w}m^{2}+\dfrac{C_{0}}{w}m, que tem coeficiente de m^{2} negativo, portanto é côncava e tem um único máximo interior. Assim as condições de primeira ordem dão realmente o máximo global (alem de observar que nas fronteiras m=0 ou l=0 a produção é zero, menor que o interior achado).

Passo 8

Interpretação econômica (didática e direta):
  • Igualdade de “bang-per-buck”: as condições de ótimo implicam que a taxa marginal de aumento da produção por real gasto é a mesma para máquina e trabalho. Em linguagem simples: gastar a última unidade monetária em máquina deve trazer o mesmo aumento de produção que gastar essa unidade em trabalho; caso contrário seria melhor realocar gasto.
  • Gastos ótimos: o gasto total no insumo máquina é v m^{*}=v\cdot \dfrac{C_{0}}{2 v}=\dfrac{C_{0}}{2} e, simetricamente, o gasto em trabalho é w l^{*}=\dfrac{C_{0}}{2}. Ou seja, no ótimo a firma gasta metade do orçamento em máquinas e metade em trabalho, independentemente dos preços v e w.
  • Papel dos preços: se o preço de máquina v aumenta (ficando mais caro), m^{*}=\dfrac{C_{0}}{2 v} cai — usa-se menos horas de máquina; análogo para w e l^{*}.
  • Sensibilidade ao orçamento: a produção máxima cresce linearmente com C_{0}: Q^{*}=\dfrac{C_{0}}{2\sqrt{v w}}. Assim, aumentar o orçamento aumenta a produção proporcionalmente (taxa 1/(2\sqrt{v w})).

Resposta

a) \displaystyle m^{*}=\frac{C_{0}}{2 v},\qquad l^{*}=\frac{C_{0}}{2 w}.
b) \displaystyle Q^{*}=\frac{C_{0}}{2\sqrt{v w}}.
c) No ótimo a firma iguala o produto marginal por real gasto entre os dois insumos; isso implica gastar metade do orçamento em máquinas e metade em trabalho ( v m^{*}=w l^{*}=C_{0}/2). Aumentos no preço de um insumo reduzem seu uso, e a produção máxima cresce linearmente com C_{0}.

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