Uma fábrica deseja maximizar sua produção utilizando dois recursos: horas de máquina
e horas de trabalho
.
A função de produção da empresa é:
O custo por hora de máquina é
reais/h e o custo por hora de trabalho é
reais/h.
A fábrica possui um orçamento total de
reais, que deve obedecer à restrição:
Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, determine:
a) Os valores ótimos
e
que maximizam a produção.
b) A produção máxima
.
c) Interprete economicamente o resultado.
A fábrica possui um orçamento total de
a) Os valores ótimos
b) A produção máxima
c) Interprete economicamente o resultado.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede aquilo que está abaixo:
- Função de produção:
. - Custos por hora:
reais/h para máquina e reais/h para trabalho. - Restrição orçamentária:
. - Variáveis
e são horas, portanto e .
O que o problema pede:
a) Encontrar os valores ótimos e
que maximizam
sujeito à restrição.
b) Calcular a produção máxima .
c) Interpretar economicamente o resultado.
a) Encontrar os valores ótimos
b) Calcular a produção máxima
c) Interpretar economicamente o resultado.
Passo 2
Observação útil para simplificar contas (explicação didática): a função
é crescente em
. Portanto maximizar
é equivalente a maximizar
, porque a transformação
é monotonicamente crescente para
. Maximizar
torna as derivadas mais simples (sai raiz), e a solução será a mesma em termos de
e
.
Vou usar o método dos multiplicadores de Lagrange para maximizar a função
sujeita à restrição linear
, conforme pedido.
Passo 3
Formulemos a função de Lagrange. Defino a função objetivo (a maximizar) como
e o multiplicador
para a restrição. A Lagrangiana é
Explicação do que isso significa:
é uma variável que acompanha a restrição; nas condições de ótimo ela iguala as taxas marginais da restrição com as do objetivo (e, no problema original, está relacionada ao valor marginal do orçamento).
Passo 4
Escrevemos as condições de primeira ordem (derivadas parciais da Lagrangiana e igualando a zero).
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
(obtemos a restrição):
Estas três equações formam um sistema para
.
Passo 5
Resolver o sistema: a partir de
e
, substituímos na restrição:
Logo
Agora obtenho
e
:
Portanto
Passo 6
Calcular a produção máxima
. Usando
:
portanto
Passo 7
Verificação rápida de que é máximo (intuitiva e simples): se
for eliminado pela restrição, a função
como função de apenas
fica proporcional a uma quadrática
, que tem coeficiente de
negativo, portanto é côncava e tem um único máximo interior. Assim as condições de primeira ordem dão realmente o máximo global (alem de observar que nas fronteiras
ou
a produção é zero, menor que o interior achado).
Passo 8
Interpretação econômica (didática e direta):
- Igualdade de “bang-per-buck”: as condições de ótimo implicam que a taxa marginal de aumento da produção por real gasto é a mesma para máquina e trabalho. Em linguagem simples: gastar a última unidade monetária em máquina deve trazer o mesmo aumento de produção que gastar essa unidade em trabalho; caso contrário seria melhor realocar gasto.
- Gastos ótimos: o gasto total no insumo máquina é
e, simetricamente, o gasto em trabalho é . Ou seja, no ótimo a firma gasta metade do orçamento em máquinas e metade em trabalho, independentemente dos preços e . - Papel dos preços: se o preço de máquina
aumenta (ficando mais caro), cai — usa-se menos horas de máquina; análogo para e . - Sensibilidade ao orçamento: a produção máxima cresce linearmente com
: . Assim, aumentar o orçamento aumenta a produção proporcionalmente (taxa ).
Resposta
a)
b)
c) No ótimo a firma iguala o produto marginal por real gasto entre os dois insumos; isso implica gastar metade do orçamento em máquinas e metade em trabalho ( ). Aumentos no preço de um insumo reduzem seu uso, e a produção máxima cresce linearmente com
.
b)
c) No ótimo a firma iguala o produto marginal por real gasto entre os dois insumos; isso implica gastar metade do orçamento em máquinas e metade em trabalho (