Numa fábrica de dispositivos eletrônicos, 2% da produção é formada por itens defeituosos. Um lote é aceito pelo comprador se tiver no máximo 3% dos dispositivos defeituosos. Admita que um lote tenha 100 dispositivos. Qual a probabilidade que o comprador rejeite o lote?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, especificamente sobre probabilidades em produção. O cenário é uma fábrica que produz dispositivos eletrônicos, onde 2% dos itens são defeituosos. O comprador vai aceitar um lote de 100 dispositivos se, no máximo, 3% deles forem defeituosos. A pergunta é: qual a chance de o comprador rejeitar esse lote?
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis do problema. Temos um lote de 100 dispositivos, ou seja, $ n = 100 $. A probabilidade de um dispositivo ser defeituoso é de 2%, então $ p = 0,02 $. A gente quer saber a probabilidade de mais de 3% serem defeituosos, o que equivale a mais de 3 dispositivos defeituosos no lote.
Passo 3
Esse tipo de problema é resolvido usando a distribuição binomial, que calcula a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, com cada tentativa tendo a mesma probabilidade de sucesso. No nosso caso, um “sucesso” é encontrar um dispositivo defeituoso.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ dispositivos serem defeituosos.
- $ C(n, k) $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $, que é calculada como $ \frac{n!}{k!(n-k)!} $.
Passo 4
Queremos encontrar $ P(X > 3) $, ou seja, a probabilidade de ter mais de 3 dispositivos defeituosos. Para facilitar, podemos calcular $ P(X \leq 3) $ e subtrair de 1:
Então, precisamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $, $ P(X = 2) $ e $ P(X = 3) $, e somar esses valores.
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
Passo 6
Agora, somamos essas probabilidades:
Então, a probabilidade de ter mais de 3 dispositivos defeituosos é:
Resposta
A probabilidade de o comprador rejeitar o lote é de aproximadamente 13,86%.