Numa fábrica de dispositivos eletrônicos, 2% da produção é formada por itens defeituosos. Um lote é aceito pelo comprador se tiver no máximo 3% dos dispositivos defeituosos. Admita que um lote tenha 100 dispositivos. Qual a probabilidade que o comprador rejeite o lote?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, especificamente sobre probabilidades em produção. O cenário é uma fábrica que produz dispositivos eletrônicos, onde 2% dos itens são defeituosos. O comprador vai aceitar um lote de 100 dispositivos se, no máximo, 3% deles forem defeituosos. A pergunta é: qual a chance de o comprador rejeitar esse lote?

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis do problema. Temos um lote de 100 dispositivos, ou seja, $ n = 100 $. A probabilidade de um dispositivo ser defeituoso é de 2%, então $ p = 0,02 $. A gente quer saber a probabilidade de mais de 3% serem defeituosos, o que equivale a mais de 3 dispositivos defeituosos no lote.

Passo 3

Esse tipo de problema é resolvido usando a distribuição binomial, que calcula a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, com cada tentativa tendo a mesma probabilidade de sucesso. No nosso caso, um “sucesso” é encontrar um dispositivo defeituoso.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ dispositivos serem defeituosos.
  • $ C(n, k) $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $, que é calculada como $ \frac{n!}{k!(n-k)!} $.

Passo 4

Queremos encontrar $ P(X > 3) $, ou seja, a probabilidade de ter mais de 3 dispositivos defeituosos. Para facilitar, podemos calcular $ P(X \leq 3) $ e subtrair de 1:
P(X > 3)
Então, precisamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $, $ P(X = 2) $ e $ P(X = 3) $, e somar esses valores.

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. Para $ k = 0 $:
k = 0
  1. Para $ k = 1 $:
P(X = 0) = C(100, 0) times 0,02^0 times 0,98^100 = 1 times 1 times 0,98^100 approx 0,1326
  1. Para $ k = 2 $:
k = 1
  1. Para $ k = 3 $:
P(X = 1) = C(100, 1) times 0,02^1 times 0,98^99 = 100 times 0,02 times 0,98^99 approx 0,2702

Passo 6

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X <= 3) = 0,1326 + 0,2702 + 0,2751 + 0,1835 approx 0,8614
Então, a probabilidade de ter mais de 3 dispositivos defeituosos é:
P(X > 3) = 1 - 0,8614 = 0,1386

Resposta

A probabilidade de o comprador rejeitar o lote é de aproximadamente 13,86%.

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