Uma fábrica de embalagens para produtos químicos está estudando dois processos para combater a corrosão de suas latas especiais. Para verificar o efeito dos tratamentos, foram usadas amostras cujos resultados estão no quadro abaixo (em porcentagem de corrosão eliminada). Qual seria a conclusão sobre os dois tratamentos?
Método Amostra Média Desvio Padrão
A 15 48 10
B 12 52 15

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas amostras independentes de latas tratadas pelos métodos A e B, cada uma com média (\bar x), desvio-padrão (s) e tamanho (n). Precisamos comparar as médias pra ver se algum tratamento é realmente melhor. O conteúdo é “teste de hipótese para a diferença entre duas médias” usando o t-teste de Student (Welch, já que as variâncias são diferentes e n é pequeno). Vamos precisar das fórmulas do t-teste, do grau de liberdade aproximado e de uma tabela ou cálculo de p-valor.

Passo 2

Definição das hipóteses e escolha do teste
– Hipótese nula H₀: μ_A = μ_B (não há diferença entre os tratamentos)
– Hipótese alternativa H₁: μ_A ≠ μ_B
Como as variâncias (s_A²=10² e s_B²=15²) são diferentes e as amostras pequenas, usamos o t-teste de Welch. A estatística é
t ;=;bar xA - bar xBraiztfracsA^2nA + tfracsB^2nB,

Passo 3

Cálculo do t
Dados:
\bar x_A=48,;s_A=10,;n_A=15
\bar x_B=52,;s_B=15,;n_B=12
Então
raizsA^2nA+sB^2nB =raiz10^215+15^212 =raiz10015+22512 =raiz6,667 + 18,75 =raiz25,417approx5,041
e
t=48-525,041approx-45,041approx-0,793,

Passo 4

Grau de liberdade aproximado (Welch)
Usamos
nu approxl(tfracsA^2nA+tfracsB^2nBr)^2 tfrac(sA^2/nA)^2nA-1+tfrac(sB^2/nB)^2nB-1
Substituindo:
nuapprox25,417^2tfrac6,667^214+tfrac18,75^211 approx646,0073,175+31,959 approx18,4,

Passo 5

Cálculo do p-valor e decisão
Para t=−0,793 com ν≈18,4, o p-valor bilateral é cerca de 0,43 (muito maior que α=0,05). Alternativamente, o valor crítico t_{0,025;18}≈2,10 e |−0,793|<2,10.
Logo, falhamos em rejeitar H₀.

Resposta

Não há evidência estatística significativa de diferença entre os tratamentos A e B (com nível de significância de 5%).

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