Em um grupo de 80 pessoas, todas de Minas Gerais, 53 conhecem o Rio de Janeiro, 38 conhecem São Paulo e 21 já estiveram nas duas cidades. Uma pessoa do grupo é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de que ela tenha visitado apenas uma dessas cidades?

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: num grupo de 80 mineiros, 53 já foram ao Rio de Janeiro (vamos chamar de conjunto ), 38 já foram a São Paulo (conjunto ) e 21 já foram às duas cidades (interseção ). A pergunta é: pegando uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dela ter visitado apenas uma dessas cidades?
O conteúdo aqui é de teoria de conjuntos (união, interseção, diferença) e probabilidade clássica (número de casos favoráveis dividido pelo total). Vamos usar também a fórmula de diferença de conjuntos pra achar quem visitou só uma cidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a ideia de diferença de conjuntos:
  • |R setminus S| = |R| - |R cap S| é quem foi ao Rio.
  • |S setminus R| = |S| - |R cap S| é quem foi a SP.
  • |(R setminus S) cup (S setminus R)| = |R setminus S| + |S setminus R| é quem foi às duas.
  • Quem foi ao Rio é . O tamanho disso é
  • De modo parecido, quem foi a SP é , com
Pessoas que visitaram apenas uma cidade é a união desses dois grupos:
A gente não precisa subtrair nada a mais, porque esses dois conjuntos são disjuntos (quem foi só ao Rio não pode ter ido só a SP).

Passo 3

Agora, vamos calcular esses tamanhos:
  1. Quem foi só ao Rio:
|R setminus S| = |R| - |Rcap S| = 53 - 21 = 32
  1. Quem foi só a SP:
|S setminus R| = |S| - |Rcap S| = 38 - 21 = 17
Então o total de gente que visitou apenas uma cidade é
32 + 17 = 49

Passo 4

Pra achar a probabilidade clássica, dividimos o número de casos favoráveis (49) pelo total de pessoas (80):
P(só uma cidade) = 4980 ó
Se você quiser em porcentagem, multiplica por 100%:
4980 times 100% = 61,25%

Resposta

A probabilidade de a pessoa ter visitado apenas uma dessas cidades é (aproximadamente 61,25%).

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