Em uma fábrica de equipamentos eletrônicos, a máquina 1 produz o dobro de peças da máquina 2. Sabe-se que 4 % das peças fabricadas pela máquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto 7 % de defeituosas são produzidas pela máquina 2 . A produção diária é misturada. Extraída uma amostra aleatória de 20 peças, qual é a probabilidade de que essa amostra contenha.
(b) Três ou mais peças defeituosas?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas máquinas produzindo peças eletrônicas: a máquina 1 produz o dobro de peças da máquina 2. Sabemos que 4% das peças da máquina 1 são defeituosas e 7% das da máquina 2 também são defeituosas. A produção de ambas as máquinas é misturada diariamente. Precisamos encontrar a probabilidade de, em uma amostra aleatória de 20 peças, pelo menos 3 serem defeituosas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.

Passo 2

Vamos começar determinando a proporção de peças produzidas por cada máquina. Como a máquina 1 produz o dobro que a máquina 2, podemos dizer que, para cada 3 peças produzidas (2 da máquina 1 e 1 da máquina 2), 2 vêm da máquina 1 e 1 da máquina 2. Portanto:
  • Proporção da máquina 1: 23
  • Proporção da máquina 2: 13

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa de defeitos na produção combinada. Isso é feito ponderando a taxa de defeitos de cada máquina pela sua proporção de produção:
p = (23 times 0,04) + (13 times 0,07)
p = 23 times 0,04 + 13 times 0,07 = 0,0267 + 0,0233 = 0,05
Então, a taxa de peças defeituosas na produção misturada é de 5%.

Passo 4

Com a taxa de defeitos conhecida, podemos modelar a situação usando uma distribuição binomial. A distribuição binomial é apropriada aqui porque temos um número fixo de tentativas (20 peças), cada tentativa tem dois resultados possíveis (defeituosa ou não), e a probabilidade de sucesso (peça defeituosa) é constante.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
onde:
  • (número de peças)
  • (probabilidade de uma peça ser defeituosa)
  • é o número de peças defeituosas que queremos encontrar

Passo 5

Queremos a probabilidade de pelo menos 3 peças serem defeituosas, ou seja, P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2) . Para facilitar o cálculo, vamos usar a propriedade de que:
Então, precisamos calcular , e e subtrair a soma desses valores de 1.

Passo 6

Calculando cada probabilidade:
P(X = 0) = binom200 (0,05)^0 (0,95)^20 = 1 times 1 times 0,3585 = 0,3585
P(X = 1) = binom201 (0,05)^1 (0,95)^19 = 20 times 0,05 times 0,3774 = 0,3774
P(X = 2) = binom202 (0,05)^2 (0,95)^18 = 190 times 0,0025 times 0,3968 = 0,1898

Passo 7

Somando essas probabilidades:
P(X <= 2) = 0,3585 + 0,3774 + 0,1898 = 0,9257
Então,
P(X >= 3) = 1 - 0,9257 = 0,0743

Resposta

A probabilidade de que, em uma amostra de 20 peças, pelo menos 3 sejam defeituosas é de aproximadamente 7,43%.

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