Numa fábrica, examinando-se a cada hora 20 peças. Se for encontrada pelo menos uma defeituosa, o processo de fabricação é interrompido e a causa pesquisada. A porcentagem de peças defeituosas produzidas pelo equipamento é conhecida e tem sido sempre 1,5%. Considerando um dia de 10 horas de trabalho, quantas vezes por dia podemos esperar que o processo seja interrompido?

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que, a cada hora, a gente examina 20 peças e, se pelo menos uma estiver defeituosa, interrompe o processo. A taxa de peças defeituosas é de 1,5% (ou seja, p = 0,015). Num dia de trabalho de 10 horas, queremos saber quantas interrupções, em média, vão rolar.
Conteúdo: probabilidade de evento “pelo menos um” em um lote (regra do complementar) e esperança de soma de eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a probabilidade de interromper em uma inspeção de 20 peças.
  1. A chance de uma peça não ser defeituosa é 1-p = 1 - 0,015 = 0,985.
  2. Como as peças são independentes, a probabilidade de todas as 20 serem boas é
P(nenhuma defeituosa) = (1 - p)^20 = 0,985^20
  1. Aí, pela regra do complementar, a probabilidade de pelo menos uma defeituosa (ou seja, de interromper) é
Pint = 1 - (1 - p)^20 = 1 - 0,985^20

Passo 3

Como são 10 inspeções (uma a cada hora durante 10 horas) e cada uma é independente, a expectativa (média) de interrupções no dia é
E[interrupções] = 10 times Pint = 10 l[1 - 0,985^20r] çõ

Passo 4

Só falta calcular numericamente:
  1. Calcular 0,985^20. Usando uma calculadora ou exponenciação:
0,985^20 approx 0,7391
  1. Então
Pint = 1 - 0,7391 approx 0,2609
  1. E a expectativa diária fica
E[interrupções] = 10 times 0,2609 = 2,609 çõ

Resposta

Em média, podemos esperar cerca de 2,61 interrupções por dia.

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