Seja uma linha de produção em que a taxa de itens defeituosos é de 0,5%. Calculemos a probabilidade de ocorrer mais do que quatro defeituosos, em uma amostra de 500 itens.

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: temos uma linha de produção onde 0,5% dos itens saem defeituosos e vamos pegar uma amostra de 500 itens. Queremos a probabilidade de aparecerem mais de 4 defeituosos nessa amostra. Isso cai em Distribuição de Probabilidade Discreta – mais especificamente a Binomial – mas, como n é grande e p é pequeno, a gente vai usar a aproximação de Poisson. Pra resolver, vamos precisar:
  • Entender o modelo Binomial vs. Poisson
  • Calcular λ = n·p
  • Somar as probabilidades de 0 até 4 defeituosos (Poisson) e fazer 1 menos essa soma

Passo 2

X = número de itens defeituosos ~ Binomial(n = 500, p = 0,005).
Binomial dá muita conta pra somar até k = 4 nessa n grande, então usamos a ideia de que, quando n é grande e p é pequeno, Binomial(n,p) ≃ Poisson(λ) com λ = n·p.
Aqui, λ = 500 × 0,005 = 2,5.

Passo 3

Na Poisson, a probabilidade de X = k é
P(X=k) = e^-lambda ,lambda^kk!
Então, pra achar P(X>4) a gente faz:
P(X>4) = 1 - sumk=0^4 P(X=k)
Vamos calcular cada termo com λ = 2,5:
  • P(X=0) = e{-2,5}·2,50/0! ≃ 0,082085
  • P(X=1) = e{-2,5}·2,51/1! ≃ 0,2052125
  • P(X=2) = e{-2,5}·2,52/2! ≃ 0,2565156
  • P(X=3) = e{-2,5}·2,53/3! ≃ 0,2137630
  • P(X=4) = e{-2,5}·2,54/4! ≃ 0,1336019

Passo 4

Agora somamos de k=0 até k=4:
0,082085 + 0,205213 + 0,256516 + 0,213763 + 0,133602 ≃ 0,891179.
Logo,
P(X>4) = 1 - 0,891179 approx 0,108821

Resposta

A probabilidade de ter mais de 4 itens defeituosos na amostra de 500 é aproximadamente
boxed0,109 (ou 10,9%)

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